Wyznacznik macierzy

Wyznacznik macierzy to funkcja określona na macierzach kwadratowych związana z mnożeniem i dodawaniem odpowiedznim elementów danej macierzy tak, by otrzymać pojedynczą liczbę. Inaczej mówiąc wyznacznik macierzy jest to liczba rzeczywista przyporządkowana macierzy kwadratowej, którą oznaczamy jako detA lub |A|.

Niech będzie dana macierz kwadratowa A stopnia n.

Wyznacznikiem nazywamy, takie odwzorawanie, które danej macierzy A = [a_ij]_n×n przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę rzeczywistą detA.

Wartość wyznacznika detA obliczamy ze wzoru:
detA = ∑ sgn(i₁, i₂, ..., i_n) a_i₁₁ a_i₂₂ ... a_{i_n}_n
gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie permutacje (i₁, i₂, ..., i_n) zbioru n-elementowego.

W szczególnych przypadkach mamy
dla n = 1 det[a₁₁] = a₁₁
dla n = 2 $det [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}] = a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}$
dla n = 3

 $det [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}] = a_{11} a_{22} a_{33} - a_{21} a_{32} a_{13} + a_{31} a_{12} a_{23} - a_{21} a_{12} a_{33} + a_{11} a_{32} a_{23} - a_{31} a_{22} a_{13}$

Minory

Minorem (podwyznacznikiem) elementu a_ij macierzy A nazywamy wyznacznik mcierzy powstałej z A przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny. Oznaczamy go M_ij.

Dopełnieniem algebraicznym elementu a_ij nazywamy wartość A_ij = (-1)^i+jM_ij

Rozwinięcie Laplace'a

Dla każdej macierzy A o wymiarach n×n wyznacznik detA spełnia regułę zwaną rozwinięciem Laplace'a tzn.

detA = a_i1A_i1 + a_i2A_i2 + ... + a_inA_in
gdzie i oznacza numer dowolnie wybranego wiersza lub

detA = a_1jA_1j + a_2jA_2j + ... + a_njA_nj
gdzie j oznacza numer dowolnie wybranej kolumny.

Wyznacznik dowolnego stopnia można obliczyć wprost z definicji, jednak jest to bardzo czasochłonne. Lepiej skorzystać z faktu, że dodanie lub odjęcie od dowolnego wiersza (kolumny) innego wiersza(kolumny) nie zmienia wartości wyznacznika i tym sposobem sprowadzić jak najwięcej elementów pewnego wiersza(kolumny) do zera.
Zastosowanie twierdzenia Laplace'a kontynuujemy do uzyskania macierzy, której wyznacznik można obliczyć z drugiego lub trzeciego stopnia.

Własności wyznaczników

Macierz kwadratową, której wyznacznik jest równy zero nazywamy macierzą osobliwą, natomiast macierz kwadratową, której wyznacznik jest ózny od zera nazywamy macierzą niesosobliwą.

- Wyznacznik macierzy transponowanej jest równy wyznacznikowi macierzy wyjściowej.
- Jeżeli macierz posiada wiersz zerowy (kolumnę zerową), wówczas detA = 0
- Jeżeli macierz posiada dwa identyczne wiersze (kolumny), wówczas detA = 0
- Jeżeli jakiś wiersz (kolumna) jest kombinacją liniową innych wierszy (kolumn) wyznacznik ma wartość zero.
- Zamiana miejscami dwóch wierszy lub dwóch kolumn macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika.
- Jeżlei w danej macierzy elementy danego wiersza lub kolumny zostaną przemnożone przez dowolną liczbę k = 0, wówczas wartość wyznacznika również zostanie przemżona przez k.
- Zachodzi równość det(A · B) = detA · detB

Wyznaczniki wykorzystujemy do rozwiązywania układów równań liniowych.

Wyznacznik macierzy

Matematyka