Wyznacznik macierzy

Teorię wyznaczników zapoczątkował problem znalezienia ogólnego wzoru na rozwiązanie układu n równań liniowych o n niewiadomych. Wzory te zostały podane w XVIII wieku przez Cramera. Teoria wyznaczników została rozwinięta w XIX wieku, zwłaszcza w pracach Laplace'a, Cauchy'ego i Jacobiego.

Wyznacznik macierzy to funkcja określona na macierzach kwadratowych związana z mnożeniem i dodawaniem odpowiednich elementów danej macierzy tak, by otrzymać pojedynczą liczbę. Inaczej mówiąc wyznacznik macierzy jest to liczba rzeczywista przyporządkowana macierzy kwadratowej. Wyznacznik oznaczamy symbolicznie detA lub |A|.


Niech będzie dana macierz kwadratowa A stopnia n.

Wyznacznikiem nazywamy, takie odwzorowanie, które danej macierzy A = [aij]n×n przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę rzeczywistą detA.

Jeśli macierz jest stopnia n = 1, to jej wyznacznik detA = a11.
Jeśli stopień macierzy jest większy niż 1, to jej wyznacznik obliczamy według następującego wzoru:
detA = i=1 n (-1) i+j a ij det M ij ,
gdzie detMij oznacza wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.


Wartość wyznacznika macierzy [aij]n×n, możemy obliczyć ze wzoru:
detA = ∑ sgn(i1, i2, ..., in) ai11ai22...ainn ,
gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie permutacje (i1, i2, ..., in) zbioru {1, 2, ..., n}.

W iloczynie ai11ai22...a inn występuje dokładnie jeden czynnik z każdego wiersza, mianowicie element ai11 z pierwszego wiersza, z drugiego wiersza element ai22 itd. Ponieważ sumowanie rozciąga się na wszystkie permutacje zbioru {1, 2, ..., n}, więc każda z liczb występuje raz i tylko raz. Oznacza to, że w iloczynie ai11ai22...a inn występuje dokładnie jeden czynnik z każdej kolumny.
Dodajemy teraz wszystkie wyrażenia utworzone dla wszystkich permutacji i otrzymujemy pewną liczbę. W ten sposób została określona funkcja, która macierzom kwadratowym przypisuje liczby zwane wyznacznikiem macierzy.
Ponieważ istnieje n! (n silnia) permutacji n elementów, więc podana definicja określa wyznacznik macierzy stopnia n jako sumę n! składników.


Z definicji wynikają bezpośrednio następujące rozwinięcia wyznaczników stopnia drugiego i trzeciego

dla n = 2    |a11a12a21a22|=a11a22-a21a12

dla n = 3    |a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31

Dla n = 3 istnieje dokładnie 3! = 6 permutacji, a mianowicie
123, 231, 312, 132, 213, 321
Wypisanym sześciu permutacjom odpowiada sześć składników:
+ a11a22a33, + a12a23a31, + a13a21a32, - a11a23a32, - a12a21a33, - a13a22a31,
Dodając te wyrazy otrzymujemy powyższy wzór.

Istnieje prosty sposób mnemotechniczny zapamiętywania budowy wyznaczników stopnia 3, zwany regułą Sarrusa. Dopisujemy z prawej strony raz jeszcze pierwszą i drugą kolumnę i następnie tworzymy iloczyny ze znakami według następującego schematu:
reguła sarrusa

Dla macierzy stopnia czwartego i wyższych obliczanie wyznaczników bezpośrednio z definicji jest na ogół uciążliwe. Wygodnie jest wówczas stosować rozwinięcie Laplace'a.


Macierz kwadratową, której wyznacznik jest równy zero nazywamy macierzą osobliwą, natomiast macierz kwadratową, której wyznacznik jest różny od zera nazywamy macierzą nieosobliwą.

Rozwinięcie Laplace'a
Własności wyznaczników


Oblicz wyznacznik macierzy stopnia drugiego lub trzeciego.
Aby obliczyć wyznacznik macierzy stopnia drugiego, trzeci wiersz i trzecią kolumnę pozostaw puste.


matematyka » algebra » macierze » wyznacznik macierzy




gość logowanie

© 2014 Mariusz Śliwiński      mapa | o serwisie | kontakt | rss online: 26 drukuj