logowanie

matematyka » algebra » równania » równania liniowe » układ równań liniowych

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układ równań
a1x+ b1y= c1 a2x+ b2y= c2 ,
gdzie a1, a2, b1, b2 c1, c2 są dowolnymi liczbami przy czym a1 i a2 oraz b1 i b2 nie mogą być jednocześnie zerami nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb (x, y), która spełnia jednocześnie oba równania układu. Liczba rozwiązań układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi zależy od wartości współczynników obu równań liniowych układu.

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może:
- mieć dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest para liczb (układ oznaczony),
- mieć nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony),
- nie mieć rozwiązań (układ sprzeczny).

Interpretacja geometryczna układu równań liniowych.
Dla układu oznaczonego rozwiązaniem są współrzędne punktu przecięcia prostych o podanych równaniach,
Dla układu nieoznaczonego proste mają nieskończenie wiele punktów wspólnych (proste te się pokrywają)
Dla układu sprzecznego proste nie mają punktów wspólnych (są równoległe i rozłączne).


Metody rozwiązywania układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

Niech będzie dany układ równań a1x+ b1y= c1 a2x+ b2y= c2

Metoda podstawiania
Metoda polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego z równań układu i podstawieniu wyznaczonej niewiadomej do drugiego równania. Uzyskujemy w ten sposób równanie liniowe z jedną niewiadomą. Wyznaczoną z tego równania niewiadomą podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy wartość drugiej niewiadomej.

Metoda przeciwnych współczynników
Metoda ta polega na pomnożeniu równań układu przez odpowiednio dobrane liczby, tak aby po dodaniu równań stronami otrzymać równanie z jedną niewiadomą.

Metoda graficzna
Metoda ta polega na wykreśleniu w prostokątnym układzie współrzędnych wykresu (linii prostej) każdego równania układu i odczytaniu współrzędnych punktów wspólnych dla obu prostych.
Jeżeli dwie proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych, to układ równań nie ma rozwiązania, jeżeli natomiast równania układu opisują tę samą prostą, to rozwiązaniem układu równań są współrzędne wszystkich punktów należących do tej prostej - jest ich nieskończenie wiele.

Metoda wyznaczników
Metoda wyznaczników polega na wyznaczeniu tzw. wyznaczników i na podstawie ich wartości przeprowadzeniu analizy rozwiązań układu równań.

Wyznacznik utworzony ze współczynników przy niewiadomych nazywamy wyznacznikiem głównym i oznaczamy przez W.
W = | a1 b1 a2 b2 | = a1 · b2 - b1 · a2
W podobny sposób wyliczamy wyznaczniki pomocnicze Wx i Wy, w których kolumnę współczynników przy niewiadomych zastępujemy odpowiednio przez kolumnę wyrazów wolnych:
Wx = | c1 b1 c2 b2 | = c1 · b2 - b1 · c2
Wy = | a1 c1 a2 c2 | = a1 · c2 - c1 · a2

Analiza otrzymanych rozwiązań:

Jeżeli W ≠ 0, to układ równań jest oznaczony i ma dokładnie jedno rozwiązanie:
x= WxW     y= WyW .

Jeżeli W = 0 oraz Wx ≠ 0 lub Wy ≠ 0, to układ równań jest sprzeczny.

Jeżeli W = 0 i Wx = 0 i Wy = 0, to układ równań jest nieoznaczony.





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 112 drukuj