Wielościany foremne

Wielościanem foremnym nazywamy wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i wszystkie kąty dwuścienne wyznaczone przez ściany są równe.

Istnieją tylko następujące wielościany foremne:


Czworościan (tetraedr)
4 ściany trójkątne, 4 wierzchołki, 6 krawędzi.
czworościan


P = 3 a2
V = 2 12 a3





Sześcian (heksaedr)
6 ścian kwadratowych, 8 wierzchołków, 12 krawędzi.

sześcian

P = 6 a2
V = a3





Ośmiościan (oktaedr)
8 ścian trójkątnych, 6 wierzchołków, 12 krawędzi.
ośmiościan

P = 2 3 a2
V = 2 3 a3




Dwunastościan (dodekaedr)
12 ścian pięciokątnych, 20 wierzchołków, 30 krawędzi.
dwunastościan

P = 15 ( 5 + 2 ) a2
V = ( 15 + 7 5 ) 4 a3



Dwudziestościan (ikosaedr)
20 ścian trójkątnych, 12 wierzchołków, 30 krawędzi.
dwudziestościan

P = 5 3 a2
V = 5 ( 3 + 5 ) 12 a3



Dlaczego wielościanów foremnych nie może być więcej niż pięć?
Suma wszystkich kątów płaskich kąta bryłowego musi być mniejsza od 360°. Z trójkątów można zbudować trzy wielościany foremne, gdzie z jednego wierzchołka mogą wychodzić:
- 3 krawędzie (60° × 3 = 180° < 360°)
- 4 krawędzie (60° × 4 = 240° < 360°)
- 5 krawędzi (60° × 5 = 300° < 360°).
Z kwadratów składać się może tylko jeden wielościan (3 × 90° = 270°). Z pięciokątów foremnych składać się może również tylko jeden, gdyż kąt pięciokąta foremnego ma miarę 108° (3 × 108° < 360°). Z sześciokątów, ani tym bardziej z wielokątów o większej liczbie boków, wielościanu foremnego zbudować się nie da.

Wielościany foremne znali już Pitagorejczycy w VI w. p.n.e. i pod postaciami sześcianu, ośmiościanu, czworościanu i dwudziestościanu wyobrażali cztery żywioły: ziemię, powietrze, ogień i wodę, a od czasów Platona uważano piąty wielościan foremny, dwunastościan, za postać wszechświata. Wielościany te noszą nazwę brył platońskich

matematyka » geometria » stereometria » wielosciany » wielościany foremne




gość logowanie

© 2014 Mariusz Śliwiński      mapa | o serwisie | kontakt | rss online: 33 drukuj