logowanie

matematyka » arytmetyka » zbiory liczbowe » liczby wymierne » ułamki zwykłe » wspólny mianownik

Wspólny mianownik ułamków

Pewną trudnością w wykonywaniu działań na ułamkach jest sprowadzenie ich do wspólnego mianownika. Aby sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, należy znaleźć, dowolną metodą, wspólną wielokrotność mianowników tych ułamków. Najlepiej jeśli będzie to najmniejsza wspólna wielokrotność, znacznie ułatwione są wtedy dalsze rachunki. Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika przydatne jest często podczas dodawania i odejmowania ułamków, czy też porównywania ułamków.

Przykład
Sprowadźmy do wspólnego mianownika ułamki $\frac{5}{12}$ i $\frac{4}{9}$.
Najlepszy mianownik to najmniejszy mianownik. Szukamy więc najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb $12$ i $9$. Można to zrobić wypisując po prostu kolejne wielokrotności tych liczb:
$W_{12} = \{12, 24, 36, 48\}$
$W_9 = \{9, 18, 27, 36\}$
Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb $12$ i $9$ jest liczba $36$, czyli naszym wspólnym mianownikiem będzie właśnie $36$. Teraz należy rozszerzyć dwa ułamki tak, aby ich mianownikiem była liczba $36$. Należy pamiętać, że rozszerzanie ułamków nie zmienia ich wartości. Ułamek $\frac{5}{12}$ rozszerzamy przez $3$, a ułamek $\frac{4}{9}$ rozszerzamy przez $4$. Dlaczego odpowiednio przez $3$ i przez $4$?
Dlatego, bo $36 \div 12 = 3$ i $36 \div 9 = 4$. W wyniku rozszerzania otrzymujemy dwa ułamki o mianowniku $36$, mianowicie $\frac{15}{36}$ i $\frac{16}{36}$, które są równoważne wyjściowym ułamkom.

Dla niedużych wartości dwóch liczb, szukanie ich najmniejszej wspólnej wielokrotności nie jest zadaniem trudnym. W przypadku liczb większych, znajdowanie takiej wielokrotności metodą podaną wyżej, może być już czasochłonne. Dla większych liczb należy skorzystać z innego sposobu szukania nww, można wykorzystać algorytm z rozkładem liczb na czynniki pierwsze.

Jest też sposób bardzo prosty, ale nie zawsze najlepszy. Wspólnym mianownikiem ułamków może być iloczyn ich mianowników. Wówczas pierwszy ułamek rozszerzamy przez mianownik drugiego ułamka, a drugi ułamek rozszerzamy przez mianownik pierwszego ułamka. Ten sposób zawsze wyznacza wspólny mianownik, ale często nie jest on najmniejszy, co w konsekwencji może przysparzać trudności w dalszych rachunkach. Z tego sposobu warto korzystać, jeśli wartości mianowników są względnie pierwsze, czyli nie mają wspólnego dzielnika większego niż $1$.

Sprawdźmy tę metodę dla ułamków $\frac{5}{12}$ i $\frac{4}{9}$.
Wspólnym mianownikiem będzie tym razem $ 12 \cdot 9 = 108$.
Rozszerzamy ułamki, tak jak to opisane jest wyżej.
$\frac{5}{12} = \frac{5\cdot 9}{12 \cdot 9} = \frac{45}{108}$
$\frac{4}{9} = \frac{4\cdot 12}{9 \cdot 12} = \frac{48}{108}$
Otrzymaliśmy ułamki $\frac{45}{108}$, $\frac{48}{108}$, które są równoważne ułamkom $\frac{5}{12}$ i $\frac{4}{9}$, ale które nie są przedstawione w najprostszej postaci.


Sprowadzanie dwóch ułamków do wspólnego mianownika.

Wprowadź dwa ułamki w formacie: $a/b$.

pierwszy ułamek: , drugi ułamek:  





© 2018 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 99 drukuj