logowanie

matematyka » geometria » geometria analityczna » prosta » wzajemne położenie prostych

Wzajemne położenie dwóch prostych

Dwie proste na płaszczyźnie mogą się przecinać tylko w jednym punkcie lub wcale się nie przecinać. W przypadku, gdy proste nie przecinają się, to są równoległe lub pokrywają się. Szczególnym przypadkiem dwóch prostych przecinających się jest przypadek prostopadłości tych prostych.

Dla prostych k, l danych równaniami
k: A1x + B1y + C1 = 0,
l: A2x + B2y + C2 = 0,
niech
W = | A1 B1 A2 B2 | = A1 · B2 - A2 · B1
Wx = | B1 C1 B2 C2 | = B1 · C2 - B2 · C1
Wy = | C1 A1 C2 A2 | = C1 · A2 - C2 · A1

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by proste k i l przecinały się, jest, by W ≠ 0 (układ oznaczony). Punkt przecięcia się prostych k i l ma współrzędne ( Wx W , Wy W ) .

Jeśli W = 0, oraz Wx ≠ 0, to zachodzi także Wy ≠ 0 i proste k, l są równoległe.

Jeśli W = Wx = 0, to również Wy = 0 i proste k i l pokrywają się (układ nieoznaczony).
Współczynniki prostych spełniają wówczas zależność:
A1 A2 = B1 B2 = C1 C2


Warunek równoległości prostych

k: A1x + B1y + C1 = 0,     l: A2x + B2y + C2 = 0

k || lA1B2 - A2B1 = 0


k: y = m1x + k1,     l: y = m2x + k2

k || lm1 = m2


Warunek prostopadłości prostych

k: A1x + B1y + C1 = 0,     l: A2x + B2y + C2 = 0

klA1A2 + B1B2 = 0


k: y = m1x + k1,     l: y = m2x + k2

k l m1 = - 1 m2





© 2018 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 45 drukuj