Konkurs nr 117
informacje | zadania | ranking | ostatnie zgłoszenia
Trójkąty
1) Narysujmy dowolny różnoboczny trójkąt ABC, przedłużmy ramiona AB i AC i narysujmy dwusieczną kąta BAC. Następnie narysujmy dolną część symetralnej boku BC. Dwusieczna i symetralna przetną się poza trójkątem. Nazwijmy ten punkt X. Sytuacja wygląda tak jak na rysunku:
2)Zauważmy, że odcinki XB i XC są równej długości.
3)Oznaczmy przez B* punkt, który leży najbliżej punktu X ze wszystkich punktów należących do prostej AB. Przez C* oznaczamy analogiczny punkt na prostej AC. XB*=XC*. Mamy, więc następującą sytuację:
4) Trójkąty XBB* i XCC* są przystające. Zatem BB*=CC*.
5) Trójkąty AXB* i AXC* także są przystające. Zatem AB*=AC*.
6) Jako, że AB*=AB+BB*, AC*=AC+CC*, a CC*=BB* to AB=AC.
7) Przeprowadzając analogiczny dowód dla kąta ABC dowodzimy, że trójkąt ABC jest równoboczny, a jako, że w żaden sposób nie wyróżniliśmy trójkąta ABC to niniejszym udowodniliśmy, że każdy trójkąt jest równoboczny.
W którym podpunkcie dokonaliśmy pierwszego błędnego założenia?