Macierz transponowana
Macierz AT otrzymana przez zamianę miejscami wierszy i kolumn danej macierzy A nazywamy macierzą transponowaną. Operację tworzenia macierzy transponowanej nazywamy transpozycją.
Dla macierzy A = (aij)
AT = (aij)T
= (aji)
Własności transpozycji
Wyznacznik macierzy transponowanej jest taki sam, jak wyznacznik macierzy
wyjściowej. Transponowaniem wektora wierszowego jest wektor kolumnowy i na odwrót.
Jeżeli dwie macierze A i B mogą być pomnożone przez siebie, wtedy
macierzą transponowaną ich iloczynu AB = C jest
CT = BTAT. Innymi słowy,
macierzą transponowaną z iloczynu macierzy jest iloczyn macierzy transponowanych w
odwrotnej kolejności.
Transpozycja nie wpływa również na ślad macierzy kwadratowej.
Macierz ortogonalna
Macierz kwadratową A nazywamy macierzą ortogonalną, jeżeli
AAT = I
gdzie I oznacza macierz jednostkową oraz AT
oznacza macierz transponowaną względem A.
Innymi słowy, macierz jest ortogonalna, jeśli jej macierzą odwrotną jest macierz
do niej transponowana lub też macierz jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy, gdy
iloczyn skalarny dwóch wierszy (kolumn) tej macierzy jest równy zeru, a iloczyn
skalarny każdego wiersza (kolumny) jest równy jeden.
Jeżeli macierz jest ortogonalna, to również jej transpozycja jest ortogonalna.
Macierz symetryczna
Macierz kwadratowa A = stopnia n
jest macierzą symetryczną, jeżeli spełnia warunek
AT = A
Przykład