Zadanie 139

Punkty wspólne spełniają jednocześnie oba równania, więc rozwiązujemy układ:

$$ x^2 = mx+1. $$

Przekształcamy do postaci równania kwadratowego:

$$ x^2 - mx - 1 = 0. $$

Prosta nie ma punktów wspólnych z parabolą wtedy i tylko wtedy, gdy równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych, czyli gdy wyróżnik jest ujemny:

$$ \Delta < 0. $$

Obliczamy wyróżnik:

$$ \Delta = (-m)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-1) = m^2 + 4. $$

Ponieważ: $$ m^2 + 4 > 0 \quad \text{dla każdego } m\in\mathbb{R}, $$ wyróżnik jest zawsze dodatni.

Oznacza to, że równanie ma zawsze dwa rozwiązania rzeczywiste, czyli prosta zawsze przecina parabolę $y=x^2$.

Odpowiedź:
Nie istnieją takie wartości $m$, dla których prosta $y=mx+1$ nie ma punktów wspólnych z wykresem funkcji $y=x^2$.