Zadanie 139

Korzystamy ze znanej granicy: $$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}. $$

Można ją uzasadnić np. z rozwinięcia funkcji cosinus w szereg Taylora: $$ \cos x = 1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\quad \text{dla } x\to 0. $$

Wtedy: $$ 1-\cos x=\frac{x^2}{2}+o(x^2), $$ a więc: $$ \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}+o(1). $$

Stąd granica wynosi: $$ \frac{1}{2}. $$

Odpowiedź: $\displaystyle \frac{1}{2}$.