Skoro trapez jest opisany na okręgu, to okrąg jest okręgiem wpisanym
w trapez. Jego promień wynosi:
$$
r = 2\sqrt{2}.
$$
W trapezie równoramiennym opisanym na okręgu suma długości podstaw
jest równa sumie długości ramion:
$$
a+b = 2c,
$$
gdzie $a$ i $b$ – podstawy, a $c$ – długość ramienia.
Jedna z podstaw ma długość $a=8$.
Oznaczmy drugą podstawę przez $b$.
Wysokość trapezu jest równa średnicy okręgu wpisanego:
$$
h = 2r = 4\sqrt{2}.
$$
Rozpatrzmy trójkąt prostokątny utworzony przez ramię trapezu.
Połowa różnicy podstaw wynosi:
$$
\frac{a-b}{2}.
$$
Z twierdzenia Pitagorasa:
$$
c^2 = h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2.
$$
Z warunku $a+b=2c$ mamy:
$$
c=\frac{8+b}{2}.
$$
Podstawiamy do równania:
$$
\left(\frac{8+b}{2}\right)^2 = (4\sqrt{2})^2 + \left(\frac{8-b}{2}\right)^2.
$$
$$
\frac{(8+b)^2}{4} = 32 + \frac{(8-b)^2}{4}.
$$
Mnożymy przez $4$:
$$
(8+b)^2 = 128 + (8-b)^2.
$$
Rozwijamy:
$$
64 + 16b + b^2 = 128 + 64 - 16b + b^2.
$$
$$
16b = 128 - 16b
\Rightarrow 32b = 128
\Rightarrow b = 4.
$$
Zatem podstawy mają długości $8$ i $4$, a ramię:
$$
c = \frac{8+4}{2} = 6.
$$
Promień okręgu opisanego
Trapez równoramienny opisany na okręgu jest figurą wpisaną w okrąg,
więc istnieje okrąg opisany na trapezie.
Promień okręgu opisanego na trapezie równoramiennym wyznaczamy
z trójkąta utworzonego przez przekątną.
Przekątna trapezu:
$$
d=\sqrt{h^2+\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}
=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+6^2}
=\sqrt{32+36}
=\sqrt{68}
=2\sqrt{17}.
$$
Okrąg opisany na trapezie jest okręgiem opisanym na trójkącie o boku $d$,
więc jego promień wynosi:
$$
R=\frac{d}{2}=\sqrt{17}.
$$
Odpowiedź: Promień okręgu opisanego na trapezie wynosi
$$
\boxed{\sqrt{17}}.
$$