1) Dziedzina
Musi być $x-3>0$, czyli $x>3$.
2) Podstawienie
Niech $t=\sqrt{x-3}$. Wtedy $t>0$ oraz $x-3=t^2$.
Otrzymujemy:
$$
\log_{2}(t^2)+t \ge 5.
$$
Ponieważ $\log_{2}(t^2)=2\log_{2}t$, mamy:
$$
2\log_{2}t+t \ge 5,\quad t>0.
$$
3) Rozwiązanie nierówności
Sprawdzamy, czy $t=2$ spełnia:
$$
2\log_{2}2 + 2 = 2\cdot 1 + 2 = 4 < 5.
$$
Dla $t=4$:
$$
2\log_{2}4 + 4 = 2\cdot 2 + 4 = 8 \ge 5.
$$
Funkcja $g(t)=2\log_{2}t+t$ jest rosnąca dla $t>0$ (bo suma funkcji rosnących),
więc nierówność będzie spełniona dla $t$ większych od pewnej wartości.
Szukamy dokładnego rozwiązania: zauważmy, że dla $t=3$:
$$
2\log_{2}3 + 3 \approx 2\cdot 1{,}585 + 3 = 6{,}17 \ge 5.
$$
A dla $t=2$ było za mało, więc granica leży w przedziale $(2,3]$.
4) Przejście do warunku na $x$ i wybór największej liczby całkowitej, która NIE spełnia
Ponieważ nierówność jest spełniona dla $t$ od pewnej wartości w górę,
to nie spełniają jej te $t$, dla których $g(t)<5$, czyli w przybliżeniu $t<t_0$,
gdzie $t_0\in(2,3)$.
Przekształcamy do $x$:
$$ t=\sqrt{x-3}. $$
Sprawdzamy wartości całkowite $x$:
Dla $x=11$: $t=\sqrt{8}\approx 2{,}828$:
$$ \log_{2}8 + \sqrt{8} = 3 + 2{,}828 = 5{,}828 \ge 5 \quad (\text{spełnia}). $$
Dla $x=10$: $t=\sqrt{7}\approx 2{,}646$:
$$ \log_{2}7 + \sqrt{7} \approx 2{,}807 + 2{,}646 = 5{,}453 \ge 5 \quad (\text{spełnia}). $$
Dla $x=9$: $t=\sqrt{6}\approx 2{,}449$:
$$ \log_{2}6 + \sqrt{6} \approx 2{,}585 + 2{,}449 = 5{,}034 \ge 5 \quad (\text{spełnia}). $$
Dla $x=8$: $t=\sqrt{5}\approx 2{,}236$:
$$ \log_{2}5 + \sqrt{5} \approx 2{,}322 + 2{,}236 = 4{,}558 < 5 \quad (\text{nie spełnia}). $$
Zatem największą liczbą całkowitą, która nie spełnia nierówności, jest $x=8$.
Odpowiedź: $\boxed{8}$.