1) Dziedzina
Aby pierwiastek i logarytm były określone, musi zachodzić:
$$
2^{x+1}-2^{x}\ge 0
\quad\text{oraz}\quad
x+3>0.
$$
Zauważmy, że
$$
2^{x+1}-2^{x}=2^{x}(2-1)=2^{x}>0
$$
dla każdego $x$, więc z pierwiastka nie ma dodatkowego ograniczenia.
Z logarytmu:
$$
x>-3.
$$
2) Uproszczenie równania
Mamy:
$$
\sqrt{2^{x+1}-2^{x}}=\sqrt{2^{x}}=2^{\frac{x}{2}}.
$$
Równanie sprowadza się do postaci:
$$
2^{\frac{x}{2}}=\log_{2}(x+3).
$$
3) Rozwiązanie
W tym miejscu nie da się już algebraicznie rozwiązać równania w sposób elementarny.
Sprawdzamy więc proste wartości, typowo w zadaniach maturalnych.
Sprawdzamy $x=1$:
$$
2^{\frac12}=\sqrt{2}\approx 1{,}414,\qquad \log_{2}4=2 \quad \text{(nie)}.
$$
Sprawdzamy $x=2$:
$$
2^{1}=2,\qquad \log_{2}5\approx 2{,}322 \quad \text{(nie)}.
$$
Sprawdzamy $x=4$:
$$
2^{2}=4,\qquad \log_{2}7\approx 2{,}807 \quad \text{(nie)}.
$$
Sprawdzamy $x=0$:
$$
2^{0}=1,\qquad \log_{2}3\approx 1{,}585 \quad \text{(nie)}.
$$
Zauważmy, że lewa strona $2^{x/2}$ rośnie znacznie szybciej niż prawa
$\log_{2}(x+3)$.
Sprawdzamy $x=-2$ (należy do dziedziny):
$$
2^{-1}=0{,}5,\qquad \log_{2}1=0.
$$
Sprawdzamy $x=-1$:
$$
2^{-0{,}5}\approx 0{,}707,\qquad \log_{2}2=1.
$$
Widzimy, że dla $x=-2$ lewa strona jest większa,
a dla $x=-1$ prawa strona jest większa,
więc istnieje dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale $(-2,-1)$.
Ostatecznie równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste
(w przybliżeniu):
$$
x\approx -1{,}5.
$$
Odpowiedź:
Równanie ma jedno rozwiązanie, w przybliżeniu $x\approx -1{,}5$.