a) Warunek ciągłości
Funkcja może nie być ciągła w punktach przejścia: $x=0$ oraz $x=2$.
Punkt $x=0$
Musi zachodzić:
$
\lim_{x\to 0^-}f(x)=f(0).
$
Z lewej strony:
$
\lim_{x\to 0^-}(kx+1)=1.
$
Z definicji funkcji:
$
f(0)=2\cdot 0+k=k.
$
Stąd:
$
1=k.
$
Punkt $x=2$
Sprawdzamy ciągłość w punkcie $2$:
$
f(2)=2\cdot 2+k=4+k.
$
Granica prawostronna:
$
\lim_{x\to 2^+}(-x+5)=3.
$
Warunek ciągłości:
$
4+k=3.
$
Otrzymujemy:
$
k=-1.
$
Z punktu $x=0$ mieliśmy $k=1$, a z punktu $x=2$ otrzymaliśmy $k=-1$.
Aby funkcja była ciągła w całej dziedzinie, oba warunki muszą być spełnione jednocześnie.
Wniosek: nie istnieje taka liczba $k$, aby funkcja była ciągła w całej dziedzinie.
b) Równanie $f(x)=3$ dla $k=1$ (ciągłość w $x=0$)
Ponieważ w punkcie $x=0$ warunek ciągłości daje $k=1$, rozwiązujemy równanie
dla tej wartości parametru.
$
f(x)=
\begin{cases}
x+1 & x<0,\\
2x+1 & 0\le x\le 2,\\
-x+5 & x>2.
\end{cases}
$
Rozwiązujemy na poszczególnych przedziałach.
Dla $x<0$:
$
x+1=3 \Rightarrow x=2 \not<0.
$
Dla $0\le x\le 2$:
$
2x+1=3 \Rightarrow x=1.
$
Dla $x>2$:
$
-x+5=3 \Rightarrow x=2 \not>2.
$
Zatem:
$
x=1.
$
c) Nierówność $f(x)<2$ dla $k=1$
Rozwiązujemy:
Dla $x<0$:
$
x+1<2 \Rightarrow x<1.
$
Z warunku przedziału otrzymujemy:
$
x<0.
$
Dla $0\le x\le 2$:
$
2x+1<2 \Rightarrow 2x<1 \Rightarrow x<\frac12.
$
Stąd:
$
x\in\left[0,\frac12\right).
$
Dla $x>2$:
$
-x+5<2 \Rightarrow -x<-3 \Rightarrow x>3.
$
Zatem:
$
x>3.
$
Łącznie:
$
x\in(-\infty,0)\cup\left[0,\frac12\right)\cup(3,\infty).
$
Odpowiedź:
a) Nie istnieje taka wartość parametru $k$, aby funkcja była ciągła w całej dziedzinie.
b) Dla $k=1$ równanie $f(x)=3$ ma rozwiązanie $x=1$.
c) Dla $k=1$ zachodzi
$x\in(-\infty,0)\cup\left[0,\frac12\right)\cup(3,\infty)$.