Zadanie 142

a)

Dla $x=0$ mamy $0<1$, więc $f(0)=2\cdot 0-1=-1$.

Dla $x=5$ mamy $1\le 5 \le 5$, więc $f(5)=-5+4=-1$.

b) Rozwiązujemy $f(x)=3$ na każdym przedziale.

1) Dla $x<1$: $2x-1=3 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2$, ale $2\not<1$, więc odrzucamy.

2) Dla $1\le x \le 5$: $-x+4=3 \Rightarrow x=1$. Tu $1\in[1,5]$, więc przyjmujemy.

3) Dla $x>5$: $1=3$ – brak rozwiązań.

Odpowiedź (b): $x=1$.

c) Rozwiązujemy $f(x)\le 2$ na każdym przedziale.

1) Dla $x<1$: $2x-1\le 2 \Rightarrow 2x\le 3 \Rightarrow x\le \frac{3}{2}$. Z warunkiem $x<1$ dostajemy $x\in(-\infty,1)$.

2) Dla $1\le x \le 5$: $-x+4\le 2 \Rightarrow -x\le -2 \Rightarrow x\ge 2$. Z warunkiem przedziału: $x\in[2,5]$.

3) Dla $x>5$: $1\le 2$ – zawsze prawda, więc $x\in(5,\infty)$.

Łącznie: $$ x\in(-\infty,1)\cup[2,\infty). $$

Odpowiedź:
a) $f(0)=-1$, $f(5)=-1$.
b) $x=1$.
c) $x\in(-\infty,1)\cup[2,\infty)$.