Przekształcamy lewą stronę do postaci jednej funkcji trygonometrycznej.
Zauważmy, że
$$
\sin 2x + \sqrt{3}\cos 2x
= 2\!\left(\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x\right).
$$
Ponieważ
$$
\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)
= \sin 2x\cos\frac{\pi}{3}+\cos 2x\sin\frac{\pi}{3}
= \frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x,
$$
to otrzymujemy:
$$
\sin 2x + \sqrt{3}\cos 2x
= 2\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{3}\right).
$$
Równanie ma więc postać:
$$
2\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=1,
$$
czyli
$$
\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}.
$$
Wiemy, że
$$
\sin t=\frac{1}{2}
\iff
t=\frac{\pi}{6}+2k\pi \;\text{ lub }\; t=\frac{5\pi}{6}+2k\pi.
$$
Zatem:
$$
2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+2k\pi
\quad \text{lub} \quad
2x+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi.
$$
Przypadek 1
$$
2x=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}+2k\pi=-\frac{\pi}{6}+2k\pi,
$$
$$
x=-\frac{\pi}{12}+k\pi.
$$
Przypadek 2
$$
2x=\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{3}+2k\pi=\frac{\pi}{2}+2k\pi,
$$
$$
x=\frac{\pi}{4}+k\pi.
$$
Ograniczamy rozwiązania do przedziału $[0,2\pi)$.
Z pierwszego wzoru:
$$
x=-\frac{\pi}{12}+k\pi
\Rightarrow x\in\left\{\frac{11\pi}{12},\;\frac{23\pi}{12}\right\}.
$$
Z drugiego wzoru:
$$
x=\frac{\pi}{4}+k\pi
\Rightarrow x\in\left\{\frac{\pi}{4},\;\frac{5\pi}{4}\right\}.
$$
Odpowiedź:
$$
x\in\left\{\frac{\pi}{4},\;\frac{11\pi}{12},\;\frac{5\pi}{4},\;\frac{23\pi}{12}\right\}.
$$