Zadanie 201

W ciągu geometrycznym: $$ a_n=a_1q^{n-1}. $$ Zatem: $$ a_2=a_1q,\quad a_3=a_1q^2,\quad a_4=a_1q^3,\quad a_5=a_1q^4. $$

Z warunków zadania otrzymujemy: $$ a_1q+a_1q^3=30, $$ $$ a_1q^2+a_1q^4=60. $$ Wyłączamy wspólny czynnik: $$ a_1q(1+q^2)=30, $$ $$ a_1q^2(1+q^2)=60. $$

Dzielimy drugie równanie przez pierwsze: $$ \frac{a_1q^2(1+q^2)}{a_1q(1+q^2)}=\frac{60}{30}. $$ $$ q=2. $$

Podstawiamy $q=2$ do równania $$ a_1q(1+q^2)=30: $$ $$ a_1\cdot2\cdot(1+4)=30, $$ $$ 10a_1=30, $$ $$ a_1=3. $$

Odpowiedź: $$ q=2,\qquad a_1=3. $$