Krok 1. Wyznaczamy obrazy punktów $A$ i $B$.
Symetria względem początku układu współrzędnych przekształca punkt
$$ (x,y)\mapsto (-x,-y). $$
Zatem:
$$A=(-4,2)\Rightarrow C=(4,-2),$$
$$B=(2,6)\Rightarrow D=(-2,-6).$$
Mamy więc czworokąt o wierzchołkach:
$$A=(-4,2),\quad B=(2,6),\quad C=(4,-2),\quad D=(-2,-6).$$
Krok 2. Zauważamy, że przekątne czworokąta przecinają się w początku układu.
Ponieważ $C$ jest obrazem $A$, to środek odcinka $AC$ ma współrzędne
$$\left(\frac{-4+4}{2},\frac{2+(-2)}{2}\right)=(0,0).$$
Podobnie środek odcinka $BD$:
$$\left(\frac{2+(-2)}{2},\frac{6+(-6)}{2}\right)=(0,0).$$
Zatem przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie
$$O=(0,0).$$
Krok 3. Obliczamy długości przekątnych.
$$AC=\sqrt{(4-(-4))^2+(-2-2)^2}
=\sqrt{8^2+(-4)^2}
=\sqrt{64+16}
=\sqrt{80}=4\sqrt5.$$
$$BD=\sqrt{(-2-2)^2+(-6-6)^2}
=\sqrt{(-4)^2+(-12)^2}
=\sqrt{16+144}
=\sqrt{160}=4\sqrt{10}.$$
Krok 4. Sprawdzamy, czy przekątne są prostopadłe.
Wektor
$$\vec{AC}=(8,-4),\qquad \vec{BD}=(-4,-12).$$
Iloczyn skalarny:
$$8\cdot(-4)+(-4)\cdot(-12)=-32+48=16.$$
Przekątne nie są prostopadłe, więc nie możemy użyć wzoru
$$P=\frac12 d_1d_2.$$
Krok 5. Liczymy pole jako sumę pól dwóch trójkątów.
Podzielmy czworokąt przekątną $AC$. Wtedy
$$P_{ABCD}=P_{\triangle ABC}+P_{\triangle ACD}.$$
Pole trójkąta $ABC$:
$$P_{\triangle ABC}=\frac12\left|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\right|.$$
Podstawiamy:
$$P_{\triangle ABC}=\frac12\left|(-4)(6-(-2))+2((-2)-2)+4(2-6)\right|,$$
$$P_{\triangle ABC}=\frac12\left|(-4)\cdot8+2\cdot(-4)+4\cdot(-4)\right|,$$
$$P_{\triangle ABC}=\frac12\left|-32-8-16\right|=\frac12\cdot56=28.$$
Pole trójkąta $ACD$:
$$P_{\triangle ACD}=\frac12\left|x_A(y_C-y_D)+x_C(y_D-y_A)+x_D(y_A-y_C)\right|.$$
Podstawiamy:
$$P_{\triangle ACD}=\frac12\left|(-4)((-2)-(-6))+4((-6)-2)+(-2)(2-(-2))\right|,$$
$$P_{\triangle ACD}=\frac12\left|(-4)\cdot4+4\cdot(-8)+(-2)\cdot4\right|,$$
$$P_{\triangle ACD}=\frac12\left|-16-32-8\right|=\frac12\cdot56=28.$$
Zatem
$$P_{ABCD}=28+28=56.$$
Odpowiedź:
$$56.$$