Krok 2. Badamy znak pochodnej.
Rozpatrujemy przedziały:
$$
(-\infty,-1),\quad (-1,3),\quad (3,\infty).
$$
Ponieważ
$$
f'(x)=3(x-3)(x+1),
$$
to:
- dla $x<-1$ mamy $f'(x)>0$,
- dla $-1<x<3$ mamy $f'(x)<0$,
- dla $x>3$ mamy $f'(x)>0$.
Zatem:
- funkcja rośnie w przedziale $(-\infty,-1)$,
- funkcja maleje w przedziale $(-1,3)$,
- funkcja rośnie w przedziale $(3,\infty)$.
Krok 3. Wyznaczamy wartości funkcji w punktach krytycznych.
Dla $x=-1$:
$$
f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+5=-1-3+9+5=10.
$$
Dla $x=3$:
$$
f(3)=3^3-3\cdot3^2-9\cdot3+5=27-27-27+5=-22.
$$
Wniosek.
Funkcja ma:
- maksimum lokalne w punkcie
$$
(-1,10),
$$
- minimum lokalne w punkcie
$$
(3,-22).
$$