Zadanie 208

Krok 1. Obliczamy $\cos\alpha$.
Korzystamy z tożsamości: $$ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. $$ $$ \cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2} =\sqrt{\frac{169-25}{169}} =\sqrt{\frac{144}{169}} =\frac{12}{13}. $$ Ponieważ $\alpha$ jest kątem ostrym, $\cos\alpha>0$.

Krok 2. Upraszczamy wyrażenie.
$$ \frac{1}{\cos\alpha-\sin\alpha}+\frac{1}{\cos\alpha+\sin\alpha} =\frac{(\cos\alpha+\sin\alpha)+(\cos\alpha-\sin\alpha)}{(\cos\alpha)^2-(\sin\alpha)^2}. $$ $$ =\frac{2\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}. $$

Krok 3. Podstawiamy wartości.
$$ \cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{144}{169}-\frac{25}{169}=\frac{119}{169}. $$ $$ \frac{2\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha} =\frac{2\cdot\frac{12}{13}}{\frac{119}{169}} =\frac{24}{13}\cdot\frac{169}{119}. $$ $$ =\frac{24\cdot13}{119}=\frac{312}{119}. $$

Odpowiedź: $$ \frac{312}{119}. $$