Uzasadnij, że jeżeli, $2a+b \le 0$, to $2a^3 +b^3 \le 3a^2b$.
1) Rozważmy różnicę po lewej i prawej stronie nierówności:
$\displaystyle 2a^3 + b^3 - 3a^2b$.
Pokażmy faktoryzację:
$\displaystyle 2a^3 + b^3 - 3a^2b = (a-b)^2(2a+b)$.
(Uzasadnienie: rozwiń $(a-b)^2(2a+b) = (a^2 - 2ab + b^2)(2a+b) = 2a^3 + a^2b - 4a^2b - 2ab^2 + 2ab^2 + b^3 = 2a^3 + b^3 - 3a^2b$).
Wniosek o znaku:
Zawsze $(a-b)^2 \ge 0$, a z założenia $2a + b \le 0$.
Zatem iloczyn $(a-b)^2(2a+b) \le 0$.
Przekład na nierówność z treści:
$\displaystyle (a-b)^2(2a+b) \le 0 \Longleftrightarrow 2a^3 + b^3 - 3a^2b \le 0 \Longleftrightarrow 2a^3 + b^3 \le 3a^2b$.
Przypadek równości:
Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $(a-b)^2 = 0$ lub $2a + b = 0$, czyli gdy $a = b$ lub $b = -2a$.
Wniosek: Jeżeli $2a + b \le 0$, to $;2a^3 + b^3 \le 3a^2b$, co wynika z faktoryzacji $2a^3 + b^3 - 3a^2b = (a-b)^2(2a+b) \le 0$.