Wyznacz dziedzinę i najmniejszą wartość funkcji $f(x) = \log_{\frac{\sqrt{2}}{2}} {(8x - x^2)}$.
1) Warunek na dziedzinę: logarytm wymaga dodatniego argumentu oraz dodatniej podstawy różnej od $1$. Podstawa $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\in(0,1)$ — jest poprawna. Argument: $8x - x^2 > 0 \;\Longleftrightarrow\; x(8-x)>0 \Longleftrightarrow x\in(0,8)$. Dziedzina: $D_f=(0,8)$.
Monotoniczność logarytmu: dla podstawy z przedziału $(0,1)$ funkcja $\log_a(\cdot)$ jest malejąca.
Zatem aby zminimalizować $f(x)=\log_{\frac{\sqrt{2}}{2}}(8x-x^2)$, trzeba zmaksymalizować argument $8x-x^2$ na $D_f$.
Maksimum argumentu: $8x-x^2=-(x^2-8x)$ to parabola w dół. Wierzchołek ma
$x_v=\displaystyle -\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2(-1)}=4$, a wtedy
$8x-x^2\big|_{x=4}=8\cdot 4-4^2=32-16=16$.
Najmniejsza wartość $f$:
$f_{\min}= \log_{\frac{\sqrt{2}}{2}}(16)=\log_{2^{-1/2}}(2^4)=\dfrac{4}{-1/2}=-8$, osiągana dla $x=4$.
Odpowiedź: $D_f=(0,8)$, a najmniejsza wartość to $-8$ dla $x=4$.