Rozważ funkcję $f(x)=\ln(x^2-4x-5)$. Wyznacz dziedzinę oraz przedziały monotoniczności.
1) Dziedzina: potrzebujemy $x^2-4x-5>0$, bo $\ln(\cdot)$ wymaga argumentu dodatniego. $x^2-4x-5=(x-5)(x+1)$. Nierówność $(x-5)(x+1)>0$ jest spełniona dla $x\in(-\infty,-1)\cup(5,\infty)$. Dziedzina: $D_f=(-\infty,-1)\cup(5,\infty)$.
Pochodna: $f(x)=\ln(x^2-4x-5)\ \Rightarrow\ f'(x)=\dfrac{2x-4}{,x^2-4x-5,}$.
Miejsca zerowe licznika: $2x-4=0\Rightarrow x=2$ (ale $2\notin D_f$).
Mianownik zeruje się w $x=-1$ i $x=5$ (punkty wyłączone z dziedziny).
Znak $f'(x)$ na składowych dziedziny:
• Dla $x\in(-\infty,-1)$: wybierz $x=-2$. Wtedy $2x-4=-8<0$, a $x^2-4x-5>0$ (bo to część dziedziny) ⟹ $f'(x)<0$.
• Dla $x\in(5,\infty)$: wybierz $x=6$. Wtedy $2x-4=8>0$, a $x^2-4x-5>0$ ⟹ $f'(x)>0$.
Wniosek o monotoniczności:
• $f$ jest malejąca na $(-\infty,-1)$.
• $f$ jest rosnąca na $(5,\infty)$.
Brak punktów stacjonarnych w dziedzinie (bo $x=2\notin D_f$).
Odpowiedź: $D_f=(-\infty,-1)\cup(5,\infty)$; $f$ maleje na $(-\infty,-1)$ i rośnie na $(5,\infty)$.