Zadanie 94

Rozważamy równanie $kx^2+(k+1)x+(k-1)=0$.
Aby miało dwa pierwiastki rzeczywiste ujemne, muszą zachodzić warunki:
1) $k\neq 0$ (żeby było kwadratowe),
2) $\Delta>0$ (dwa różne pierwiastki rzeczywiste),
3) suma pierwiastków $x_1+x_2<0$,
4) iloczyn pierwiastków $x_1x_2>0$.

Krok 1: wyróżnik
$\Delta=(k+1)^2-4k(k-1)=k^2+2k+1-4k^2+4k=-3k^2+6k+1$.
Warunek $\Delta>0$ daje:
$-3k^2+6k+1>0$
$3k^2-6k-1<0$.
Pierwiastki trójmianu $3k^2-6k-1=0$:
$k=\dfrac{6\pm\sqrt{36+12}}{6}=\dfrac{6\pm4\sqrt3}{6}=1\pm\dfrac{2\sqrt3}{3}$.
Zatem
$\Delta>0 \iff 1-\dfrac{2\sqrt3}{3}

Krok 2: suma i iloczyn pierwiastków (wzory Viete’a)
$x_1+x_2=-\dfrac{k+1}{k}$.
Warunek $x_1+x_2<0$:
$-\dfrac{k+1}{k}<0 \iff \dfrac{k+1}{k}>0 \iff k>0 \ \text{lub}\ k<-1$.

$x_1x_2=\dfrac{k-1}{k}$.
Warunek $x_1x_2>0$:
$\dfrac{k-1}{k}>0 \iff k>1 \ \text{lub}\ k<0$.

Krok 3: wspólna część warunków
Z warunków na sumę i iloczyn:
$(k>0 \ \text{lub}\ k<-1)\ \cap\ (k>1 \ \text{lub}\ k<0)= (k>1)\ \text{lub}\ (k<-1)$.
Teraz przecinamy to z warunkiem $\Delta>0$:
$1-\dfrac{2\sqrt3}{3} Część $k<-1$ odpada, bo cały przedział z $\Delta>0$ leży powyżej $1-\dfrac{2\sqrt3}{3}\approx -0{,}1547$.
Zostaje więc
$k>1$ oraz $k<1+\dfrac{2\sqrt3}{3}$.

Odpowiedź
Równanie ma dwa ujemne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy
$1