Zadanie 93

Krok 1. Ustalmy miary kątów trójkąta
Skoro trójkąt jest równoramienny o podstawie $AB$, to ramiona są równe: $AC = BC$,
a więc kąty przy podstawie są równe:
$\angle A = \angle B$.
Z treści zadania: $\angle A = \angle BAC = 30^\circ$, więc:
$\angle B = 30^\circ$.
Suma kątów w trójkącie wynosi $180^\circ$, więc:
$\angle C = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$.

Krok 2. Obliczamy długość ramienia $AC$ (i $BC$) z twierdzenia sinusów
Stosujemy twierdzenie sinusów w trójkącie $ABC$:
$ \frac{AB}{\sin \angle C} = \frac{AC}{\sin \angle B}. $
Podstawiamy dane:
$AB = 8$, $\angle C = 120^\circ$, $\angle B = 30^\circ$:
$ \frac{8}{\sin 120^\circ} = \frac{AC}{\sin 30^\circ}. $
Wartości sinusów:
$\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,
$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
Zatem:
$ \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}}. $
Lewą stronę upraszczamy:
$ \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}. $
Prawa strona:
$ \frac{AC}{\frac{1}{2}} = AC \cdot 2 = 2AC. $
Mamy więc równanie:
$ \frac{16}{\sqrt{3}} = 2AC \quad \Rightarrow \quad AC = \frac{16}{2\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}. $
Czyli:
$ AC = BC = \frac{8}{\sqrt{3}}. $

Krok 3. Ustawienie trójkąta w układzie współrzędnych
Dla wygody skorzystamy z geometrii analitycznej.
Przyjmijmy:
$A = (0,0)$, $B = (8,0)$ – podstawa leży na osi $OX$.
Kąt przy wierzchołku $A$ ma miarę $30^\circ$, a długość $AC = \dfrac{8}{\sqrt{3}}$.
Zatem współrzędne punktu $C$:
$ C = \left(AC \cos 30^\circ,\; AC \sin 30^\circ \right). $
Podstawiamy wartości:
$AC = \frac{8}{\sqrt{3}}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$:
$ C_x = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{2} = 4, \quad C_y = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{\sqrt{3}}. $
Zatem:
$ C = \left(4,\; \frac{4}{\sqrt{3}}\right). $

Krok 4. Wyznaczenie środka boku $BC$ – punktu $D$
Punkt $D$ jest środkiem odcinka $BC$, więc jego współrzędne to średnie arytmetyczne współrzędnych $B$ i $C$:
$B = (8,0)$, $C = \left(4, \frac{4}{\sqrt{3}}\right)$.
$ D_x = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6, \quad D_y = \frac{0 + \frac{4}{\sqrt{3}}}{2} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}. $
Zatem:
$ D = \left(6,\; \frac{2}{\sqrt{3}}\right). $

Krok 5. Obliczenie długości środkowej $AD$
Długość odcinka $AD$ obliczamy ze wzoru na odległość między punktami $A(0,0)$ i $D\left(6,\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$:
$ |AD| = \sqrt{(6-0)^2 + \left(\frac{2}{\sqrt{3}} - 0\right)^2} = \sqrt{6^2 + \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2}. $
Obliczamy:
$6^2 = 36$,
$ \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4}{3}. $
Zatem:
$ |AD|^2 = 36 + \frac{4}{3} = \frac{108}{3} + \frac{4}{3} = \frac{112}{3}. $
$ |AD| = \sqrt{\frac{112}{3}} = \frac{\sqrt{112}}{\sqrt{3}}. $
Rozkładamy $112$:
$112 = 16 \cdot 7$, więc:
$\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$.
Zatem:
$ |AD| = \frac{4\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{\frac{7}{3}} = \frac{4\sqrt{21}}{3}. $

Odpowiedź:
Długość środkowej $AD$ wynosi $|AD| = \frac{4\sqrt{21}}{3}.$