Rozwiąż układ: $\begin{cases}2x-y+z=1\\ x+2y-z=4\\ 3x-y+2z=3\end{cases}$.
Rozwiązujemy układ równań:
$
\begin{cases}
2x - y + z = 1\\
x + 2y - z = 4\\
3x - y + 2z = 3
\end{cases}
$
Krok 1. Zapis układu
(1) \quad $2x - y + z = 1$
(2) \quad $x + 2y - z = 4$
(3) \quad $3x - y + 2z = 3$
Krok 2. Dodajemy równania (1) i (2)
Dodajemy stronami (1) i (2), żeby pozbyć się $z$:
$
(2x - y + z) + (x + 2y - z) = 1 + 4
$
Lewa strona:
$2x + x = 3x$,
$-y + 2y = y$,
$z - z = 0$.
Otrzymujemy:
$3x + y = 5$.
To będzie równanie (4).
Krok 3. Wyznaczamy $y$ z równania (4)
Z równania (4):
$3x + y = 5 \Rightarrow y = 5 - 3x$.
Krok 4. Podstawiamy $y$ do równania (1)
Równanie (1): $2x - y + z = 1$.
Podstawiamy $y = 5 - 3x$:
$
2x - (5 - 3x) + z = 1.
$
Uproszczenie nawiasu:
$2x - 5 + 3x + z = 1$
$5x - 5 + z = 1$.
Dodajemy $5$ do obu stron:
$5x + z = 6$.
Stąd:
$z = 6 - 5x$. \quad (5)
Krok 5. Podstawiamy $y$ i $z$ do równania (3)
Równanie (3): $3x - y + 2z = 3$.
Podstawiamy $y = 5 - 3x$ oraz $z = 6 - 5x$:
$
3x - (5 - 3x) + 2(6 - 5x) = 3.
$
Upraszczamy krok po kroku:
$3x - 5 + 3x + 2 \cdot 6 - 2 \cdot 5x = 3$
$3x - 5 + 3x + 12 - 10x = 3$
$(3x + 3x - 10x) + (-5 + 12) = 3$
$(-4x) + 7 = 3$.
Odejmujemy $7$ od obu stron:
$-4x = 3 - 7 = -4$.
Dzielimy przez $-4$:
$x = 1$.
Krok 6. Obliczamy $y$ i $z$
Korzystamy z wyprowadzonych wcześniej wzorów:
$y = 5 - 3x$ oraz $z = 6 - 5x$.
Podstawiamy $x = 1$:
$y = 5 - 3 \cdot 1 = 5 - 3 = 2$,
$z = 6 - 5 \cdot 1 = 6 - 5 = 1$.
Krok 7. Sprawdzenie w układzie
Podstawiamy $(x,y,z) = (1,2,1)$:
(1) $2\cdot 1 - 2 + 1 = 2 - 2 + 1 = 1$ ✓
(2) $1 + 2\cdot 2 - 1 = 1 + 4 - 1 = 4$ ✓
(3) $3\cdot 1 - 2 + 2\cdot 1 = 3 - 2 + 2 = 3$ ✓
Wszystkie równania są spełnione.
Odpowiedź:
$x = 1,\quad y = 2,\quad z = 1$.