Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymamy co najmniej jedną "jedynkę", pod warunkiem, że otrzymamy co najmniej jedną "szóstkę".
Zdarzenie losowe: trzykrotnie rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry.
Niech:
$A$ – zdarzenie: "wypadła co najmniej jedna jedynka",
$B$ – zdarzenie: "wypadła co najmniej jedna szóstka".
Szukamy prawdopodobieństwa warunkowego $P(A \mid B)$.
Z definicji:
$$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}.$$
Krok 1. Wielkość przestrzeni zdarzeń
Przy trzech rzutach kostką każda z $6$ ścian może wypaść w każdym rzucie, więc:
$$|\Omega| = 6^3 = 216.$$
Krok 2. Obliczamy $P(B)$ – co najmniej jedna szóstka
Łatwiej policzyć zdarzenie przeciwne: "ani razu nie wypadła szóstka".
W jednym rzucie: prawdopodobieństwo, że nie wypadnie $6$ wynosi $\dfrac{5}{6}$.
W trzech rzutach:
$$P(\text{brak szóstki}) = \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 = \dfrac{125}{216}.$$
Zatem:
$$P(B) = 1 - \dfrac{125}{216} = \dfrac{216 - 125}{216} = \dfrac{91}{216}.$$
Krok 3. Obliczamy $P(A \cap B)$ – co najmniej jedna jedynka i co najmniej jedna szóstka
Policzymy liczbę wszystkich trójek wyników, w których występuje przynajmniej jedna 1 i przynajmniej jedna 6.
Skorzystamy z zasady włączeń i wyłączeń.
Najpierw:
– wszystkie możliwe trójki wyników: $6^3 = 216$.
– trójki bez jedynki: każda pozycja może być jedną z cyfr $\{2,3,4,5,6\}$ – czyli $5$ możliwości na rzut,
czyli $5^3 = 125$ trójek.
– trójki bez szóstki: każda pozycja może być jedną z cyfr $\{1,2,3,4,5\}$ – znowu $5$ możliwości na rzut,
czyli też $5^3 = 125$ trójek.
– trójki bez jedynki i bez szóstki: każda pozycja może być jedną z cyfr $\{2,3,4,5\}$ – $4$ możliwości na rzut,
czyli $4^3 = 64$ trójek.
Liczbę trójek, w których występuje co najmniej jedna 1 i co najmniej jedna 6, dostajemy z:
$$|A \cap B| = 216 - 125 - 125 + 64 = 30.$$
Zatem:
$$P(A \cap B) = \dfrac{30}{216} = \dfrac{5}{36}.$$
Krok 4. Prawdopodobieństwo warunkowe
Korzystamy z definicji:
$$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{\frac{5}{36}}{\frac{91}{216}} = \dfrac{5}{36} \cdot \dfrac{216}{91}.$$
Upraszczenie:
$\dfrac{216}{36} = 6$, więc:
$$P(A \mid B) = 5 \cdot \dfrac{6}{91} = \dfrac{30}{91}.$$
Odpowiedź:
Szukane prawdopodobieństwo warunkowe wynosi $\displaystyle \frac{30}{91}$.