Zadanie 91

Rozwiązujemy równanie:
$ \frac{x + 2}{x-2} = \frac{x + 3}{x-3} + \frac{2}{x^2-5x + 6}. $

Krok 1. Dziedzina równania
Mianowniki nie mogą być równe zeru:
$x - 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$,
$x - 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3$,
$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) \ne 0 \Rightarrow x \ne 2, 3$.
Zatem dziedziną równania jest:
$D = \mathbb{R} \setminus \{2,3\}$.

Krok 2. Uproszczenie równania
Zauważmy, że:
$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.
Zapiszmy równanie z tym rozkładem:
$ \frac{x + 2}{x-2} = \frac{x + 3}{x-3} + \frac{2}{(x-2)(x-3)}. $
Aby pozbyć się ułamków, pomnóżmy obie strony równania przez wspólny mianownik $(x-2)(x-3)$ (dla $x \ne 2,3$ wolno tak zrobić):
$ \frac{x+2}{x-2} \cdot (x-2)(x-3) = \frac{x+3}{x-3} \cdot (x-2)(x-3) + \frac{2}{(x-2)(x-3)} \cdot (x-2)(x-3). $
Upraszczenie każdego składnika:
– po lewej stronie: $\dfrac{x+2}{x-2} \cdot (x-2)(x-3) = (x+2)(x-3)$,
– pierwszy składnik po prawej: $\dfrac{x+3}{x-3} \cdot (x-2)(x-3) = (x+3)(x-2)$,
– drugi składnik po prawej: $\dfrac{2}{(x-2)(x-3)} \cdot (x-2)(x-3) = 2$.
Otrzymujemy równanie bez ułamków:
$ (x+2)(x-3) = (x+3)(x-2) + 2. $

Krok 3. Rozwinięcie nawiasów
Lewa strona:
$(x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$.
Prawa strona:
$(x+3)(x-2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6$.
Zatem równanie ma postać:
$ x^2 - x - 6 = x^2 + x - 6 + 2. $
Upraszczenie prawej strony:
$x^2 + x - 6 + 2 = x^2 + x - 4$.
Zatem:
$ x^2 - x - 6 = x^2 + x - 4. $

Krok 4. Rozwiązanie równania liniowego
Przenosimy wszystko na jedną stronę, na przykład na lewą:
$ x^2 - x - 6 - x^2 - x + 4 = 0. $
Upraszczenie:
$x^2 - x^2 = 0$,
$-x - x = -2x$,
$-6 + 4 = -2$.
Dostajemy:
$ -2x - 2 = 0. $
Dodajemy $2$ do obu stron:
$ -2x = 2. $
Dzielimy przez $-2$:
$ x = -1. $

Krok 5. Sprawdzenie z dziedziną
Sprawdzamy, czy $x = -1$ należy do dziedziny $D = \mathbb{R} \setminus \{2,3\}$.
Tak, $-1 \ne 2$ i $-1 \ne 3$, więc $x = -1$ jest dopuszczalne.

Odpowiedź:
Rozwiązaniem równania jest $x = -1$.