Dana jest funkcja kwadratowa:
$f(x) = x^2 + bx + 1$.
Wiadomo, że jej zbiorem wartości jest przedział $[-1; \infty)$.
Mamy wyznaczyć współczynnik $b$.
1) Kształt wykresu funkcji
Funkcja kwadratowa ma postać ogólną $f(x) = ax^2 + bx + c$.
U nas $a = 1 > 0$, więc parabola jest skierowana ramionami do góry.
Oznacza to, że funkcja ma minimum, a jej zbiorem wartości jest przedział postaci:
$[f_{\min}, \infty)$.
Z treści zadania wiemy, że:
$f_{\min} = -1$.
2) Współrzędne wierzchołka paraboli
Wierzchołek paraboli $y = ax^2 + bx + c$ ma współrzędną $x$ równą:
$x_w = -\dfrac{b}{2a}$.
U nas $a = 1$, więc:
$x_w = -\dfrac{b}{2}$.
Wartość funkcji w wierzchołku (czyli minimum) to:
$f_{\min} = f(x_w) = f\left(-\dfrac{b}{2}\right)$.
3) Obliczamy wartość $f\left(-\dfrac{b}{2}\right)$
Podstawiamy do wzoru funkcji:
$f\left(-\dfrac{b}{2}\right) = \left(-\dfrac{b}{2}\right)^2 + b\left(-\dfrac{b}{2}\right) + 1$.
Obliczamy krok po kroku:
$\left(-\dfrac{b}{2}\right)^2 = \dfrac{b^2}{4}$,
$b\left(-\dfrac{b}{2}\right) = -\dfrac{b^2}{2}$.
Zatem:
$f\left(-\dfrac{b}{2}\right) = \dfrac{b^2}{4} - \dfrac{b^2}{2} + 1$.
Zapiszmy na wspólnym mianowniku $4$:
$\dfrac{b^2}{4} - \dfrac{2b^2}{4} + 1 = -\dfrac{b^2}{4} + 1$.
Czyli:
$f_{\min} = -\dfrac{b^2}{4} + 1$.
4) Wykorzystujemy informację o zbiorze wartości
Z treści zadania:
$f_{\min} = -1$.
Zatem mamy równanie:
$-\dfrac{b^2}{4} + 1 = -1$.
Przenosimy $1$ na prawą stronę:
$-\dfrac{b^2}{4} = -1 - 1 = -2$.
Mnożymy obie strony przez $-1$:
$\dfrac{b^2}{4} = 2$.
Mnożymy przez $4$:
$b^2 = 8$.
Pierwiastkujemy obustronnie:
$b = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.
5) Wniosek
Dla $b = 2\sqrt{2}$ i dla $b = -2\sqrt{2}$ funkcja $f(x) = x^2 + bx + 1$ ma minimum równe $-1$ i ramiona skierowane do góry,
więc jej zbiorem wartości jest dokładnie przedział $[-1; \infty)$.
Odpowiedź: $b = 2\sqrt{2}$ lub $b = -2\sqrt{2}$.