Zadanie 89

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem ogólnym:
$a_n = 4n + 9$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Mamy wykazać, że ten ciąg jest arytmetyczny.

Krok 1. Przypomnienie definicji ciągu arytmetycznego
Ciąg $(a_n)$ nazywamy arytmetycznym, jeśli różnica:
$a_{n+1} - a_n$
jest stała (taka sama dla każdego $n$).
Tę stałą różnicę nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy zwykle przez $r$.

Krok 2. Obliczenie wyrazu $a_{n+1}$
Mamy wzór:
$a_n = 4n + 9$.
Zatem wyraz o jeden dalszy, czyli $a_{n+1}$, otrzymamy, podstawiając $n+1$ zamiast $n$:
$a_{n+1} = 4(n+1) + 9$.
Upraszczenie:
$a_{n+1} = 4n + 4 + 9 = 4n + 13$.

Krok 3. Obliczenie różnicy $a_{n+1} - a_n$
Różnica kolejnych wyrazów:
$a_{n+1} - a_n = (4n + 13) - (4n + 9)$.
Uważnie odejmujemy:
$a_{n+1} - a_n = 4n + 13 - 4n - 9 = 4$.

Krok 4. Interpretacja wyniku
Otrzymaliśmy, że:
$a_{n+1} - a_n = 4$
dla każdego $n \ge 1$.
Różnica kolejnych wyrazów jest stała i równa $4$.
Z definicji oznacza to, że ciąg $(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy:
$r = 4$.

Wniosek:
Ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = 4n + 9$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $r = 4$.