Zadanie 89

Chcemy pokazać, że dla każdej liczby całkowitej $k$ i każdej liczby całkowitej $m$ wyrażenie
$$k^3m - km^3$$
jest podzielne przez $6$.
Aby liczba była podzielna przez $6$, musi być podzielna jednocześnie przez $2$ i przez $3$.
Pokażemy więc osobno podzielność przez $2$ i przez $3$.

Krok 1. Rozkładamy wyrażenie na czynniki
Zauważmy, że można wyciągnąć wspólne czynniki:
$$k^3m - km^3 = km(k^2 - m^2).$$
Widzimy jeszcze wzór skróconego mnożenia:
$$k^2 - m^2 = (k-m)(k+m).$$
Zatem:
$$k^3m - km^3 = km(k-m)(k+m).$$
Mamy więc iloczyn czterech liczb całkowitych: $k$, $m$, $(k-m)$, $(k+m)$.

Krok 2. Podzielność przez $2$
Pokażemy, że liczba $km(k-m)(k+m)$ jest zawsze parzysta, czyli podzielna przez $2$.
Zauważmy, że liczby $(k-m)$ i $(k+m)$ różnią się o $2$:
$$(k+m) - (k-m) = 2.$$ Jeśli dwie liczby całkowite różnią się o $2$, to jedna z nich musi być parzysta.
Zatem co najmniej jedna z liczb $(k-m)$ lub $(k+m)$ jest parzysta, czyli podzielna przez $2$.
Skoro w iloczynie $km(k-m)(k+m)$ występuje czynnik parzysty, cały iloczyn jest podzielny przez $2$.

Krok 3. Podzielność przez $3$ — analiza modulo $3$
Teraz pokażemy, że liczba $km(k-m)(k+m)$ jest zawsze podzielna przez $3$.
Rozpatrzymy reszty z dzielenia $k$ i $m$ przez $3$. Każda liczba całkowita jest równa $0$, $1$ lub $2$ modulo $3$.

Rozważmy przypadki:

1) Jeśli $k \equiv 0 \pmod{3}$, to $k$ jest podzielne przez $3$, więc cały iloczyn $km(k-m)(k+m)$ jest podzielny przez $3$.
2) Jeśli $m \equiv 0 \pmod{3}$, to $m$ jest podzielne przez $3$, więc znów cały iloczyn jest podzielny przez $3$.

3) Pozostaje przypadek, gdy żadna z liczb $k$, $m$ nie jest podzielna przez $3$, czyli
$$k, m \equiv 1 \text{ lub } 2 \pmod{3}.$$ Rozważmy możliwe pary reszt:
– $(k,m) \equiv (1,1)$: wtedy $k-m \equiv 0 \pmod{3}$, więc $k-m$ jest podzielne przez $3$;
– $(k,m) \equiv (2,2)$: znów $k-m \equiv 0 \pmod{3}$, więc $k-m$ jest podzielne przez $3$;
– $(k,m) \equiv (1,2)$: wtedy $k+m \equiv 1+2 = 3 \equiv 0 \pmod{3}$, więc $k+m$ jest podzielne przez $3$;
– $(k,m) \equiv (2,1)$: wtedy $k+m \equiv 2+1 = 3 \equiv 0 \pmod{3}$, więc $k+m$ jest podzielne przez $3$.
W każdym przypadku przynajmniej jeden z czynników $(k-m)$ lub $(k+m)$ jest podzielny przez $3$.
Zatem cały iloczyn $km(k-m)(k+m)$ jest podzielny przez $3$.

Krok 4. Wniosek — podzielność przez $6$
Wykazaliśmy, że liczba
$$k^3m - km^3 = km(k-m)(k+m)$$
jest jednocześnie podzielna przez $2$ i podzielna przez $3$.
To oznacza, że jest podzielna przez ich najmniejszą wspólną wielokrotność, czyli przez $6$.

Wniosek: dla każdej liczby całkowitej $k$ i dla każdej liczby całkowitej $m$ liczba $k^3m - km^3$ jest podzielna przez $6$.