Zadanie 88

Rozwiązujemy nierówność:
$\sqrt{x^2 + 4x + 4} \ge 11 - \sqrt{x^2 - 6x + 9}$.

1) Zauważmy, że wyrażenia pod pierwiastkami są pełnymi kwadratami:
$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$,
$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.
Zatem nierówność można zapisać jako:
$\sqrt{(x+2)^2} \ge 11 - \sqrt{(x-3)^2}$.

2) Pierwiastek z kwadratu to wartość bezwzględna:
$\sqrt{(x+2)^2} = |x+2|$,
$\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$.
Otrzymujemy:
$|x+2| \ge 11 - |x-3|$.

3) Przeniesiemy $|x-3|$ na lewą stronę:
$|x+2| + |x-3| \ge 11$.
Taką nierówność z wartościami bezwzględnymi rozwiązujemy, rozpatrując przedziały wyznaczone przez punkty, w których wyrażenia pod modułami zmieniają znak, czyli $x = -2$ i $x = 3$.
Rozpatrzymy trzy przypadki:
1) $x \le -2$,
2) $-2 \le x \le 3$,
3) $x \ge 3$.

Przypadek 1: $x \le -2$
Wtedy:
$x+2 \le 0 \Rightarrow |x+2| = -(x+2) = -x - 2$,
$x-3 \le 0 \Rightarrow |x-3| = -(x-3) = -x + 3$.
Suma:
$|x+2| + |x-3| = (-x - 2) + (-x + 3) = -2x + 1$.
Nierówność staje się:
$-2x + 1 \ge 11$.
Odejmujemy $1$:
$-2x \ge 10$.
Dzielimy przez $-2$ (pamiętamy o zmianie znaku nierówności):
$x \le -5$.
W tym przypadku mieliśmy założenie $x \le -2$, a z obliczeń wyszło $x \le -5$, więc w przedziale $(-\infty, -2]$ rozwiązaniem jest:
$x \le -5$.

Przypadek 2: $-2 \le x \le 3$
Tutaj:
$x+2 \ge 0 \Rightarrow |x+2| = x+2$,
$x-3 \le 0 \Rightarrow |x-3| = -(x-3) = -x + 3$.
Suma:
$|x+2| + |x-3| = (x+2) + (-x+3) = 5$.
Nierówność ma postać:
$5 \ge 11$,
co jest fałszem dla każdego $x$.
Zatem w przedziale $[-2,3]$ brak rozwiązań.

Przypadek 3: $x \ge 3$
Wtedy:
$x+2 \ge 0 \Rightarrow |x+2| = x+2$,
$x-3 \ge 0 \Rightarrow |x-3| = x-3$.
Suma:
$|x+2| + |x-3| = (x+2) + (x-3) = 2x - 1$.
Nierówność staje się:
$2x - 1 \ge 11$.
Dodajemy $1$:
$2x \ge 12$.
Dzielimy przez $2$:
$x \ge 6$.
W tym przypadku mieliśmy założenie $x \ge 3$, więc rozwiązania z tego przedziału to:
$x \ge 6$.

4) Zbieramy wszystkie rozwiązania
Z przypadku 1: $x \le -5$,
z przypadku 2: brak rozwiązań,
z przypadku 3: $x \ge 6$.

Ostatecznie:
$x \in (-\infty, -5] \cup [6, \infty)$.

Odpowiedź:
Zbiorem rozwiązań nierówności jest $(-\infty, -5] \cup [6, \infty)$.