Zadanie 87

Szukamy sześciocyfrowych liczb naturalnych, w których iloczyn wszystkich cyfr jest równy $28$.
Oznacza to, że:
$c_1 \cdot c_2 \cdot c_3 \cdot c_4 \cdot c_5 \cdot c_6 = 28$,
gdzie $c_i$ to cyfry od $0$ do $9$, a $c_1 \neq 0$ (bo liczba ma być sześciocyfrowa).

Krok 1. Rozkład liczby $28$ na czynniki pierwsze
$28 = 2^2 \cdot 7$.
Cyfry w zapisie liczby mogą być tylko cyframi od $0$ do $9$, więc każdy z czynników musi być jedną z cyfr $1,2,3,\dots,9$.
Ponieważ potrzebujemy tylko czynników typu $2$ i $7$, możemy korzystać z cyfr:
– $2$ (czyli $2$),
– $4$ (czyli $2^2$),
– $7$ (czyli $7$),
– $1$ (czyli nie zmienia iloczynu).
Nie możemy użyć cyfry $8$, bo $8 = 2^3$, a potrzebujemy tylko $2^2$.
Nie możemy użyć $0$, bo wtedy iloczyn byłby równy $0$, a nie $28$.

Krok 2. Ustalenie możliwych kombinacji cyfr (bez jedynek)
Niech $a$ będzie liczbą cyfr $2$, $b$ – liczbą cyfr $4$, a $c$ – liczbą cyfr $7$.
Wymagamy, aby:
$2$-potęga: $a + 2b = 2$,
$7$-potęga: $c = 1$.
Zatem zawsze mamy dokładnie jedną cyfrę $7$.
Rozwiązujemy równanie $a + 2b = 2$ w liczbach całkowitych nieujemnych:
– jeśli $b = 0$, to $a = 2$ (czyli dwie cyfry $2$),
– jeśli $b = 1$, to $a = 0$ (czyli jedna cyfra $4$),
inne możliwości nie istnieją (dałyby $a < 0$).

Mamy więc dwa typy zestawu cyfr (oprócz jedynek):
1) Typ A: $2,2,7$ (dwie cyfry $2$ i jedna $7$),
2) Typ B: $4,7$ (jedna cyfra $4$ i jedna $7$).
Reszta cyfr to jedynki (bo mamy łącznie 6 cyfr).

Krok 3. Uzupełnienie do sześciu cyfr
Liczba jest sześciocyfrowa, więc musi mieć dokładnie $6$ cyfr.

Przypadek A:
Cyfry: $2,2,7$ oraz jeszcze $3$ jedynki, aby razem było $6$ cyfr.
Zestaw cyfr (multizbiór): $\{2,2,7,1,1,1\}$.

Przypadek B:
Cyfry: $4,7$ oraz jeszcze $4$ jedynki, aby razem było $6$ cyfr.
Zestaw cyfr: $\{4,7,1,1,1,1\}$.

We wszystkich przypadkach nie ma cyfry $0$, więc każda permutacja takich cyfr jest liczbą sześciocyfrową (pierwsza cyfra na pewno nie jest zerem).

Krok 4. Liczenie permutacji w każdym przypadku
Dla multizbioru o łącznej liczbie $n$ elementów, gdzie pewne elementy się powtarzają, liczba różnych permutacji wynosi:
$\displaystyle \frac{n!}{k_1! \, k_2! \, \dots}$,
gdzie $k_i$ to krotności powtarzających się elementów.

Przypadek A: $\{2,2,7,1,1,1\}$
– łącznie $6$ cyfr,
– cyfra $2$ występuje $2$ razy,
– cyfra $1$ występuje $3$ razy,
– cyfra $7$ występuje $1$ raz.
Liczba różnych permutacji:
$\displaystyle \frac{6!}{2! \cdot 3!} = \frac{720}{2 \cdot 6} = \frac{720}{12} = 60$.

Przypadek B: $\{4,7,1,1,1,1\}$
– łącznie $6$ cyfr,
– cyfra $1$ występuje $4$ razy,
– cyfry $4$ i $7$ po $1$ razie.
Liczba różnych permutacji:
$\displaystyle \frac{6!}{4!} = \frac{720}{24} = 30$.

Krok 5. Zsumowanie wyników
Całkowita liczba sześciocyfrowych liczb, których iloczyn cyfr jest równy $28$, to suma liczb z obu przypadków:
$60 + 30 = 90$.

Odpowiedź:
Istnieje $90$ sześciocyfrowych liczb naturalnych, w których iloczyn wszystkich cyfr jest równy $28$.