Zadanie 86

Mamy równanie:
$x^2 + y^2 + ax + bx + \dfrac{ab}{2} = 0$.
Najpierw przekształcimy je do postaci kanonicznej okręgu, aby zobaczyć, jaki obiekt opisuje to równanie.

1) Zgrupujmy wyrazy z $x$ oraz pozostałe:
$x^2 + (a + b)x + y^2 + \dfrac{ab}{2} = 0$.

2) Dopełniamy kwadrat względem zmiennej $x$:
$x^2 + (a + b)x = \left(x + \dfrac{a + b}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{a + b}{2}\right)^2$.

Podstawiamy to do równania:
$\left(x + \dfrac{a + b}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{a + b}{2}\right)^2 + y^2 + \dfrac{ab}{2} = 0$.

3) Przenosimy wyrazy wolne na drugą stronę:
$\left(x + \dfrac{a + b}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\dfrac{a + b}{2}\right)^2 - \dfrac{ab}{2}$.

4) Uprośćmy prawą stronę:
$\left(\dfrac{a + b}{2}\right)^2 = \dfrac{(a + b)^2}{4} = \dfrac{a^2 + 2ab + b^2}{4}$,
$\dfrac{ab}{2} = \dfrac{2ab}{4}$.
Zatem:
$\left(\dfrac{a + b}{2}\right)^2 - \dfrac{ab}{2} = \dfrac{a^2 + 2ab + b^2}{4} - \dfrac{2ab}{4} = \dfrac{a^2 + b^2}{4}$.

Ostatecznie mamy więc:
$\left(x + \dfrac{a + b}{2}\right)^2 + y^2 = \dfrac{a^2 + b^2}{4}$.

5) Interpretacja geometryczna i rola warunku $a \neq b$
Równanie
$\left(x + \dfrac{a + b}{2}\right)^2 + y^2 = \dfrac{a^2 + b^2}{4}$
jest równaniem okręgu o środku:
$S\left(-\dfrac{a + b}{2},\; 0\right)$
i promieniu:
$R = \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$.

Aby okrąg był rzeczywisty (miał dodatni promień), musi być:
$a^2 + b^2 > 0$.
To jest spełnione zawsze, gdy nie są jednocześnie $a = 0$ i $b = 0$.
Jeżeli $a \neq b$, to nie mogą one obie być równe $0$ (bo wtedy mielibyśmy $a = b = 0$),
więc wówczas $a^2 + b^2 > 0$ i promień jest dodatni.

Wykazaliśmy więc, że dla $a \neq b$ równanie
$x^2 + y^2 + ax + bx + \dfrac{ab}{2} = 0$
opisuje rzeczywisty okrąg o środku $S\left(-\dfrac{a + b}{2}, 0\right)$ i promieniu $R = \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$.