Zadanie 86

Obliczamy wartość wyrażenia:
$\displaystyle \frac{3^{-3} \cdot 27^2 \cdot \frac{1}{9}}{(\sqrt[3]{3})^2}$.

1) Zapisujemy wszystko za pomocą potęg liczby $3$:
$3^{-3}$ zostaje bez zmian,
$27^2 = (3^3)^2 = 3^{6}$,
$\dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3^2} = 3^{-2}$,
$(\sqrt[3]{3})^2 = (3^{\frac{1}{3}})^2 = 3^{\frac{2}{3}}$.

Zatem wyrażenie przyjmuje postać:
$\displaystyle \frac{3^{-3} \cdot 3^{6} \cdot 3^{-2}}{3^{\frac{2}{3}}}$.

2) Uporządkujemy potęgi w liczniku (dodajemy wykładniki):
$3^{-3} \cdot 3^{6} \cdot 3^{-2} = 3^{-3 + 6 - 2} = 3^{1} = 3$.
Całe wyrażenie to teraz:
$\displaystyle \frac{3}{3^{\frac{2}{3}}}$.

3) Dzielimy potęgi o tej samej podstawie (odejmujemy wykładniki):
$\displaystyle \frac{3}{3^{\frac{2}{3}}} = 3^{1 - \frac{2}{3}} = 3^{\frac{1}{3}}$.

4) Zapisujemy wynik w postaci pierwiastka:
$3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3}$.

Odpowiedź:
$\displaystyle \frac{3^{-3} \cdot 27^2 \cdot \frac{1}{9}}{(\sqrt[3]{3})^2} = \sqrt[3]{3}$.