Zadanie 85

Chcemy policzyć, ile różnych (nierozróżnialnych) ciągów można ułożyć z:
– trzech pięciogroszówek,
– dwóch dwugroszówek,
– czterech jednogroszówek.

1) Liczba wszystkich monet
Mamy łącznie:
$3 + 2 + 4 = 9$ monet.
Układamy ciągi długości $9$. Gdyby wszystkie monety były rozróżnialne, liczba wszystkich permutacji wynosiłaby $9!$.

2) Monety jednak są nierozróżnialne w obrębie nominału
– trzy pięciogroszówki są identyczne,
– dwie dwugroszówki są identyczne,
– cztery jednogroszówki są identyczne.

Dla permutacji z powtórzeniami stosujemy wzór:
$\text{liczba ciągów} = \frac{(3+2+4)!}{3!\,2!\,4!}$.
Czyli w naszym przypadku:
$\text{liczba ciągów} = \frac{9!}{3!\cdot 2!\cdot 4!}$.

3) Obliczenia krok po kroku
$9! = 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 362880$,
$3! = 6,\quad 2! = 2,\quad 4! = 24$.
$3!\cdot 2!\cdot 4! = 6 \cdot 2 \cdot 24 = 288$.
Zatem:
$\frac{9!}{3!\cdot 2!\cdot 4!} = \frac{362880}{288} = 1260$.

Odpowiedź:
Można ułożyć $1260$ nierozróżnialnych ciągów z podanych monet.