Ramię ostrokątnego trójkąta równoramiennego ma długość $5$. Oblicz pole tego trójkąta, jeśli sinus kata między ramionami wynosi $\frac{4}{5}$.
Dany jest ostrokątny trójkąt równoramienny, w którym każde ramię ma długość $5$.
Kąt między ramionami oznaczmy przez $\alpha$ i wiemy, że:
$\sin \alpha = \dfrac{4}{5}$.
Mamy obliczyć pole tego trójkąta.
1) Wzór na pole trójkąta z użyciem dwóch boków i sinusa kąta między nimi:
Jeśli boki trójkąta mają długości $a$ i $b$, a kąt między nimi ma miarę $\gamma$, to:
$P = \dfrac{1}{2}ab \sin \gamma$.
2) Zastosowanie wzoru do naszego trójkąta
W naszym trójkącie oba ramiona są równe $5$, więc:
$a = 5$,
$b = 5$,
a kąt między ramionami to $\alpha$, dla którego $\sin \alpha = \dfrac{4}{5}$.
Zatem:
$P = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \sin \alpha$.
Podstawiamy wartość sinusa:
$P = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \dfrac{4}{5}$.
3) Obliczenia krok po kroku
Najpierw mnożymy $5 \cdot 5$:
$5 \cdot 5 = 25$.
Mamy więc:
$P = \dfrac{1}{2} \cdot 25 \cdot \dfrac{4}{5}$.
Teraz możemy połączyć liczby w liczniku i mianowniku:
$P = \dfrac{25}{2} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{25 \cdot 4}{2 \cdot 5}$.
$25 \cdot 4 = 100$,
$2 \cdot 5 = 10$,
więc:
$P = \dfrac{100}{10} = 10$.