Zadanie 84

Dany jest romb (niebędący kwadratem), na którym opisano koło – czyli koło jest wpisane w romb (romb jest opisany na kole).
Wiemy, że stosunek pola koła do pola rombu wynosi:
$\dfrac{P_{\text{koła}}}{P_{\text{rombu}}} = \dfrac{\pi\sqrt{3}}{8}$.
Mamy wyznaczyć miarę kąta ostrego rombu.

Krok 1. Oznaczenia
Niech:
– $a$ oznacza długość boku rombu,
– $\alpha$ oznacza miarę kąta ostrego rombu,
– $r$ oznacza promień koła wpisanego w romb.

Krok 2. Pole rombu
Pole rombu o boku $a$ i kącie ostrym $\alpha$ wyraża się wzorem:
$P_{\text{rombu}} = a^2 \sin \alpha$.

Krok 3. Związek między polem, promieniem $r$ i bokiem rombu
Romb jest czworokątem, na którym można opisać okrąg (ma wpisane koło).
Dla każdego czworokąta, na którym opisano okrąg, zachodzi wzór:
$P = r \cdot s$,
gdzie $P$ – pole czworokąta, $r$ – promień okręgu wpisanego, $s$ – połowa obwodu (tzw. semiperimeter).

W naszym przypadku obwód rombu wynosi $4a$, więc:
$s = \dfrac{4a}{2} = 2a$.
Stąd:
$P_{\text{rombu}} = r \cdot 2a$.

Z drugiej strony:
$P_{\text{rombu}} = a^2 \sin \alpha$.
Porównujemy oba wyrażenia na pole:
$a^2 \sin \alpha = 2ar$.
Dzielimy obie strony przez $a$ (zakładamy $a > 0$):
$a \sin \alpha = 2r$.
Stąd:
$r = \dfrac{a \sin \alpha}{2}$.

Krok 4. Pole koła w zależności od $a$ i $\alpha$
Pole koła o promieniu $r$ jest równe:
$P_{\text{koła}} = \pi r^2$.
Podstawiamy $r = \dfrac{a \sin \alpha}{2}$:
$P_{\text{koła}} = \pi \left(\dfrac{a \sin \alpha}{2}\right)^2 = \pi \dfrac{a^2 \sin^2 \alpha}{4} = \dfrac{\pi a^2 \sin^2 \alpha}{4}$.

Krok 5. Zapisanie podanego stosunku pól
Mamy dany stosunek:
$\dfrac{P_{\text{koła}}}{P_{\text{rombu}}} = \dfrac{\pi\sqrt{3}}{8}$.
Podstawiamy wzory na pola:
$\dfrac{\dfrac{\pi a^2 \sin^2 \alpha}{4}}{a^2 \sin \alpha} = \dfrac{\pi\sqrt{3}}{8}$.
Upraszczenie lewej strony:
$\dfrac{\pi a^2 \sin^2 \alpha}{4} \cdot \dfrac{1}{a^2 \sin \alpha} = \dfrac{\pi \sin \alpha}{4}$.
Zatem:
$\dfrac{\pi \sin \alpha}{4} = \dfrac{\pi\sqrt{3}}{8}$.

Krok 6. Wyznaczenie $\sin \alpha$
Możemy skrócić równanie przez $\pi$ (bo $\pi > 0$):
$\dfrac{\sin \alpha}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{8}$.
Mnożymy obie strony przez $8$:
$2 \sin \alpha = \sqrt{3}$.
Dzielimy przez $2$:
$\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Krok 7. Odczytanie kąta ostrego
Szukamy kąta ostrego $\alpha$, dla którego:
$\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Wiemy, że:
$\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Ponieważ romb jest ostrokątny, bierzemy właśnie kąt $\alpha = 60^\circ$.
Nie jest to kwadrat (w kwadracie kąt wynosi $90^\circ$), zgodnie z treścią zadania.

Odpowiedź:
Miarą kąta ostrego rombu jest $60^\circ$.