Zadanie 85

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$:
– podstawa $ABCD$ jest kwadratem o boku $a$,
– wysokość ostrosłupa $h = 5$,
– kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi (kąt dwuścienny) ma miarę $120^\circ$.
Szukamy objętości $V$ ostrosłupa.

Krok 1. Oznaczenia i objętość
Niech $a$ będzie długością boku podstawy (kwadratu).
Pole podstawy:
$P_p = a^2$.
Wysokość: $h = 5$.
Objętość ostrosłupa:
$V = \dfrac{1}{3} P_p \cdot h = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot 5 = \dfrac{5}{3}a^2$.
Zatem musimy najpierw wyznaczyć $a$.

Krok 2. Ustawienie w układzie współrzędnych
Umieszczamy podstawę w płaszczyźnie $z=0$ tak, by środek kwadratu był w początku układu:
$A\left(-\dfrac{a}{2}, -\dfrac{a}{2}, 0\right)$,
$B\left(\dfrac{a}{2}, -\dfrac{a}{2}, 0\right)$,
$C\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a}{2}, 0\right)$,
$D\left(-\dfrac{a}{2}, \dfrac{a}{2}, 0\right)$.
Środek podstawy: $O = (0,0,0)$.
Wierzchołek ostrosłupa (prostopadle nad środkiem):
$S = (0,0,h) = (0,0,5)$.

Krok 3. Sąsiednie ściany boczne i ich wektory normalne
Weźmy dwie sąsiednie ściany boczne: $\triangle SAB$ oraz $\triangle SBC$.
Chcemy policzyć kąt między tymi dwiema płaszczyznami.

Wektory potrzebne do wyznaczenia normalnych:
$\overrightarrow{SA} = A - S = \left(-\dfrac{a}{2}, -\dfrac{a}{2}, -h\right)$,
$\overrightarrow{SB} = B - S = \left(\dfrac{a}{2}, -\dfrac{a}{2}, -h\right)$,
$\overrightarrow{SC} = C - S = \left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a}{2}, -h\right)$.

Wektor normalny do płaszczyzny $SAB$:
$\vec{n}_1 = \overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{SB}$.
Po obliczeniu otrzymujemy (uproszczona postać):
$\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ -a h \\ \dfrac{a^2}{2} \end{pmatrix}$.

Wektor normalny do płaszczyzny $SBC$:
$\vec{n}_2 = \overrightarrow{SC} \times \overrightarrow{SB}$.
Po obliczeniu:
$\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -a h \\ 0 \\ -\dfrac{a^2}{2} \end{pmatrix}$.

Krok 4. Kąt między płaszczyznami (kąt dwuścienny)
Kąt między płaszczyznami jest równy kątowi między ich wektorami normalnymi.
Niech $\varphi$ oznacza kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi. W zadaniu podano $ \varphi = 120^\circ$.

Korzystamy ze wzoru na cosinus kąta między wektorami:
$\cos \varphi = \dfrac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{\|\vec{n}_1\| \cdot \|\vec{n}_2\|}$.

Najpierw iloczyn skalarny:
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0 \cdot (-a h) + (-a h) \cdot 0 + \dfrac{a^2}{2} \cdot \left(-\dfrac{a^2}{2}\right) = -\dfrac{a^4}{4}$.

Długość $\vec{n}_1$:
$\|\vec{n}_1\|^2 = 0^2 + (-a h)^2 + \left(\dfrac{a^2}{2}\right)^2 = a^2 h^2 + \dfrac{a^4}{4} = a^2\left(h^2 + \dfrac{a^2}{4}\right)$,
$\|\vec{n}_1\| = a \sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{4}}$.
Analogicznie $\|\vec{n}_2\| = a \sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{4}}$.

Zatem:
$\cos \varphi = \dfrac{-\dfrac{a^4}{4}}{a^2\left(h^2 + \dfrac{a^2}{4}\right)} = -\dfrac{a^2}{4h^2 + a^2}$.

Krok 5. Wykorzystanie informacji o kącie $120^\circ$
Z treści zadania:
$\varphi = 120^\circ \Rightarrow \cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$.
Mamy więc równanie:
$-\dfrac{a^2}{4h^2 + a^2} = -\dfrac{1}{2}$.
Możemy usunąć minusy:
$\dfrac{a^2}{4h^2 + a^2} = \dfrac{1}{2}$.

Podstawiamy $h = 5$ (wysokość ostrosłupa):
$\dfrac{a^2}{4\cdot 5^2 + a^2} = \dfrac{1}{2}$,
$\dfrac{a^2}{100 + a^2} = \dfrac{1}{2}$.
Mnożymy na krzyż:
$2a^2 = 100 + a^2$.
Przenosimy $a^2$ na lewą stronę:
$2a^2 - a^2 = 100$,
$a^2 = 100$.
Zatem:
$a = 10$ (bierzemy dodatnią długość boku).

Krok 6. Objętość ostrosłupa
Pole podstawy (kwadrat o boku $a=10$):
$P_p = a^2 = 10^2 = 100$.
Wysokość: $h = 5$.
Objętość:
$V = \dfrac{1}{3} P_p \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 100 \cdot 5 = \dfrac{500}{3}$.

Odpowiedź:
Objętość ostrosłupa wynosi $\displaystyle V = \dfrac{500}{3}$.