Zadanie 83

Mamy okrąg o równaniu:
$x^2 + y^2 + 2x - 2y - 3 = 0$
oraz punkt $A = (2,0)$. Chcemy obliczyć miarę kąta między stycznymi do tego okręgu poprowadzonymi z punktu $A$.

Krok 1. Sprowadzenie równania okręgu do postaci kanonicznej
Zapisujemy równanie, grupując wyrazy z $x$ i z $y$:
$x^2 + 2x + y^2 - 2y - 3 = 0$.
Dopełniamy kwadraty:
$x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$,
$y^2 - 2y = (y-1)^2 - 1$.
Podstawiamy do równania:
$(x+1)^2 - 1 + (y-1)^2 - 1 - 3 = 0$.
$(x+1)^2 + (y-1)^2 - 5 = 0$.
Zatem:
$(x+1)^2 + (y-1)^2 = 5$.
Okrąg ma więc:
– środek $S = (-1,1)$,
– promień $r = \sqrt{5}$.

Krok 2. Odległość punktu $A$ od środka okręgu
$A = (2,0)$, $S = (-1,1)$.
Korzystamy ze wzoru na odległość między punktami:
$AS = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(2+1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
Zatem:
$d = AS = \sqrt{10}$,
$r = \sqrt{5}$.
Punkt $A$ leży na zewnątrz okręgu, bo $d > r$.

Krok 3. Zależność między kątem między stycznymi a promieniem i odległością
Z punktu $A$ do okręgu prowadzimy dwie styczne, styczne przecinają okrąg w punktach $T_1$ i $T_2$.
Otrzymujemy trójkąty prostokątne $AST_1$ i $AST_2$, ponieważ promień jest prostopadły do stycznej w punkcie styczności.

Niech $\varphi$ będzie kątem między stycznymi, czyli $\angle T_1 A T_2 = \varphi$.
Znana zależność (wynikająca z własności trójkątów prostokątnych i faktu, że kąt przy środku i przy punkcie zewnętrznym są dopełniające się) mówi, że:
$\varphi = 2 \arcsin\left(\dfrac{r}{d}\right)$.
U nas $r = \sqrt{5}$, $d = \sqrt{10}$.

Obliczamy najpierw stosunek:
$\dfrac{r}{d} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\dfrac{5}{10}} = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Zatem:
$\varphi = 2 \arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

Wiemy, że:
$\arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ$.
Stąd:
$\varphi = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.

Odpowiedź:
Kąt między stycznymi do danego okręgu poprowadzonymi z punktu $A$ ma miarę $90^\circ$.