Zadanie 82

Dany jest trapez prostokątny, w którym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny.
Dłuższa podstawa ma długość $6$. Obliczamy obwód tego trapezu.

1) Oznaczenia i rysunek w myślach
Rozważmy trapez prostokątny $ABCD$ taki, że:
– podstawa dolna (dłuższa) $AB$ ma długość $6$,
– $AD$ jest ramieniem prostopadłym do podstaw,
– $CD$ jest górną (krótszą) podstawą,
– $BC$ jest ramieniem pochylonym.
Załóżmy, że krótszą przekątną jest $AC$ (druga przekątna $BD$ jest dłuższa).
Przekątna $AC$ dzieli trapez na trójkąt $ABC$ i trójkąt $ACD$.

2) Który trójkąt jest prostokątny, a który równoboczny?
Kąt przy wierzchołku $D$ w trapezie prostokątnym jest prosty ($\angle D = 90^\circ$),
ponieważ ramię $AD$ jest prostopadłe do podstaw, a $CD$ jest równoległe do $AB$.
Trójkąt $ACD$ ma więc kąt prosty przy $D$ ⇒ jest trójkątem prostokątnym.
Wobec tego trójkąt $ABC$ musi być trójkątem równobocznym.

3) Wykorzystanie informacji o trójkącie równobocznym $ABC$
Skoro trójkąt $ABC$ jest równoboczny, to wszystkie jego boki są równe:
$AB = BC = AC$.
Wiemy, że $AB = 6$, więc:
$BC = 6$ oraz $AC = 6$.

4) Oznaczenie pozostałych krawędzi trapezu
Oznaczmy:
$CD = b$ – długość krótszej podstawy,
$AD = h$ – wysokość trapezu (ramię prostopadłe).
Wiemy też, że w trójkącie prostokątnym $ACD$ przeciwprostokątną jest $AC = 6$,
a przyprostokątnymi są $AD = h$ oraz $CD = b$.
Stosujemy więc twierdzenie Pitagorasa:
$h^2 + b^2 = AC^2 = 6^2 = 36$.

5) Dodatkowy związek z trójkąta $ABC$
Spójrzmy teraz na trójkąt $ABC$:
– podstawa $AB = 6$,
– punkt $C$ leży "nad" odcinkiem między $A$ i $B$, a odległość między $A$ i $C$ po poziomie to $b$ (bo $CD = b$),
– odległość między $B$ i $C$ po poziomie to $6 - b$.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ABC$ (również z przekątną $AC = 6$) mamy:
$(6 - b)^2 + h^2 = 6^2 = 36$.

Mamy więc układ dwóch równań:
$h^2 + b^2 = 36$,
$h^2 + (6 - b)^2 = 36$.

6) Rozwiązanie układu równań
Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:
$[h^2 + (6 - b)^2] - [h^2 + b^2] = 36 - 36$,
$(6 - b)^2 - b^2 = 0$.
Rozwijamy nawias:
$(6 - b)^2 = 36 - 12b + b^2$.
Zatem:
$36 - 12b + b^2 - b^2 = 0$,
$36 - 12b = 0$.
Dzielimy przez $12$:
$3 - b = 0 \Rightarrow b = 3$.

Podstawiamy $b = 3$ do równania $h^2 + b^2 = 36$:
$h^2 + 3^2 = 36$,
$h^2 + 9 = 36$,
$h^2 = 27$,
$h = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.

7) Mamy już wszystkie boki trapezu
Dłuższa podstawa: $AB = 6$,
Krótsza podstawa: $CD = b = 3$,
Ramię pionowe: $AD = h = 3\sqrt{3}$,
Ramię pochylone: $BC = 6$ (bok trójkąta równobocznego).

8) Obliczenie obwodu trapezu
Obwód trapezu to suma długości wszystkich jego boków:
$O = AB + BC + CD + AD$.
Podstawiamy wartości:
$O = 6 + 6 + 3 + 3\sqrt{3} = 15 + 3\sqrt{3}$.

Odpowiedź:
Obwód trapezu wynosi $15 + 3\sqrt{3}$.