Zadanie 81

Mamy równanie kwadratowe:
$2x^2 - 6x + q = 0$,
które ma dwa rozwiązania będące liczbami naturalnymi.

1) Załóżmy, że pierwiastki równania to $x_1$ i $x_2$ i są to liczby naturalne.
Możemy zapisać równanie w postaci iloczynowej:
$2x^2 - 6x + q = 2(x - x_1)(x - x_2)$.

2) Rozwijamy prawą stronę:
$2(x - x_1)(x - x_2) = 2(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2)$
$= 2x^2 - 2(x_1 + x_2)x + 2x_1 x_2$.

3) Porównujemy współczynniki z równaniem
$2x^2 - 6x + q = 2x^2 - 2(x_1 + x_2)x + 2x_1 x_2$.
Otrzymujemy układ równań:
$-2(x_1 + x_2) = -6$
oraz
$q = 2x_1 x_2$.

4) Z pierwszego równania liczymy sumę pierwiastków:
$-2(x_1 + x_2) = -6$
Dzielimy obie strony przez $-2$:
$x_1 + x_2 = 3$.

5) Szukamy dwóch liczb naturalnych, których suma wynosi $3$.
Możliwe pary liczb naturalnych to:
$(1, 2)$ oraz $(2, 1)$.
Ponieważ pierwiastki są różne, mamy po prostu:
$x_1 = 1$ oraz $x_2 = 2$ (kolejność nie ma znaczenia).

6) Obliczamy $q$ z zależności:
$q = 2x_1 x_2$.
Podstawiamy $x_1 = 1$, $x_2 = 2$:
$q = 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4$.

7) Sprawdzenie:
Równanie ma postać $2x^2 - 6x + 4 = 0$.
Liczymy wyróżnik:
$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 36 - 32 = 4$.
Pierwiastki:
$x_{1,2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 2} = \dfrac{6 \pm 2}{4}$.
$x_1 = \dfrac{6 - 2}{4} = \dfrac{4}{4} = 1$,
$x_2 = \dfrac{6 + 2}{4} = \dfrac{8}{4} = 2$.
Oba pierwiastki są liczbami naturalnymi – warunek zadania jest spełniony.

Odpowiedź:
Rozwiązania równania to $x = 1$ i $x = 2$, a $q = 4$.