Zadanie 81

Rozwiązujemy nierówność:
$(x-3)(x+3) \ge (x+4)^2$.

1) Rozwińmy nawiasy po obu stronach nierówności.
Lewa strona:
$(x-3)(x+3) = x^2 - 9$.
Prawa strona:
$(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16$.
Zatem nierówność przyjmuje postać:
$x^2 - 9 \ge x^2 + 8x + 16$.

2) Przenosimy wszystko na lewą stronę nierówności.
$x^2 - 9 - (x^2 + 8x + 16) \ge 0$.
Uważnie zdejmujemy nawias:
$x^2 - 9 - x^2 - 8x - 16 \ge 0$.
Uprasczamy:
$x^2 - x^2 - 8x - 9 - 16 \ge 0$
$-8x - 25 \ge 0$.

3) Rozwiązujemy nierówność liniową.
$-8x - 25 \ge 0$.
Dodajemy $25$ do obu stron:
$-8x \ge 25$.
Dzielimy obie strony przez $-8$ (pamiętamy, że przy dzieleniu przez liczbę ujemną znak nierówności się odwraca):
$x \le -\dfrac{25}{8}$.

4) Zapisujemy zbiór rozwiązań.
Z nierówności wynika, że wszystkie liczby $x$ mniejsze lub równe $-\dfrac{25}{8}$ spełniają warunek:
$(x-3)(x+3) \ge (x+4)^2$.

Zbiór rozwiązań możemy zapisać w postaci:
$x \in (-\infty, -\dfrac{25}{8}]$.