Zadanie 82

Chcemy policzyć trzycyfrowe liczby naturalne o różnych cyfrach, w których cyfry $6$ i $7$ stoją obok siebie.
Oznacza to, że w zapisie liczby (np. $abc$) cyfry $6$ i $7$ muszą zajmować sąsiednie pozycje:
albo na miejscach setek i dziesiątek, albo na miejscach dziesiątek i jedności.
Dodatkowo wszystkie cyfry muszą być różne, a cyfra setek nie może być równa $0$.

Krok 1. Traktujemy parę $(6,7)$ lub $(7,6)$ jako sąsiedni blok
Cyfry $6$ i $7$ mogą wystąpić obok siebie w dwóch kolejnościach:
$6,7$ lub $7,6$.

Rozważymy dwa przypadki w zależności od położenia tej pary cyfr w liczbie trzycyfrowej $abc$.

Przypadek A: para $(6,7)$ lub $(7,6)$ stoi na miejscach setek i dziesiątek
Wtedy liczba ma postać:
$ab c$, gdzie:
$a,b$ to $6$ i $7$ w dowolnej kolejności, $c$ to trzecia, inna cyfra.

Możliwe ustawienia pary na miejscach $a,b$:
$(a,b) = (6,7)$ lub $(7,6)$ ⇒ mamy $2$ możliwości.

Cyfra $c$ (jedności):
– musi być różna od $6$ i $7$,
– może być równa $0$ (bo to nie jest cyfra setek).
Zatem dla $c$ mamy do wyboru wszystkie cyfry od $0$ do $9$ oprócz $6$ i $7$:
$10 - 2 = 8$ możliwości.

Liczba liczb w tym przypadku:
$2 \cdot 8 = 16$.

Przypadek B: para $(6,7)$ lub $(7,6)$ stoi na miejscach dziesiątek i jedności
Teraz liczba ma postać:
$a b c$, gdzie:
$b,c$ to $6$ i $7$ w dowolnej kolejności, a $a$ to inna cyfra (cyfra setek).

Możliwe ustawienia pary na miejscach $b,c$:
$(b,c) = (6,7)$ lub $(7,6)$ ⇒ znów $2$ możliwości.

Cyfra $a$ (setek):
– musi być różna od $6$ i $7$,
– nie może być równa $0$ (bo to cyfra setek).
Zatem dla $a$ wybieramy spośród cyfr $1,2,3,4,5,8,9$ (czyli $9$ cyfr bez $0$, a potem jeszcze wyrzucamy $6$ i $7$):
$9 - 2 = 7$ możliwości.

Liczba liczb w tym przypadku:
$2 \cdot 7 = 14$.

Krok 2. Zsumowanie przypadków
Nie ma możliwości, aby para $(6,7)$ lub $(7,6)$ jednocześnie stała na miejscach setek–dziesiątek i dziesiątek–jedności (mamy tylko trzy różne cyfry),
więc przypadki A i B się nie nakładają.

Dodajemy liczbę możliwości:
$16 + 14 = 30$.

Odpowiedź:
Istnieje $30$ trzycyfrowych liczb naturalnych o różnych cyfrach, w których cyfry $6$ i $7$ stoją obok siebie.