Zadanie 80

Mamy dwie proste:
$3x - y + 4 = 0$
oraz
$y = \dfrac{m-1}{2}x + 2$.
Chcemy wyznaczyć taką wartość $m$, aby te proste były prostopadłe.

1) Sprowadźmy pierwszą prostą do postaci kierunkowej $y = ax + b$.
Zapisujemy równanie:
$3x - y + 4 = 0$.
Przenosimy $-y$ na drugą stronę, a resztę na drugą:
$-y = -3x - 4$.
Mnożymy obie strony przez $-1$:
$y = 3x + 4$.
Widzimy, że współczynnik kierunkowy (nachylenie) tej prostej to:
$a_1 = 3$.

2) Druga prosta jest już w postaci kierunkowej:
$y = \dfrac{m-1}{2}x + 2$.
Jej współczynnik kierunkowy to:
$a_2 = \dfrac{m-1}{2}$.

3) Warunek prostopadłości prostych
Dwie proste o współczynnikach kierunkowych $a_1$ i $a_2$ są prostopadłe, gdy:
$a_1 \cdot a_2 = -1$.
W naszym przypadku:
$3 \cdot \dfrac{m-1}{2} = -1$.

4) Rozwiązanie równania dla $m$
$3 \cdot \dfrac{m-1}{2} = -1$
Mnożymy obie strony przez $2$, aby pozbyć się mianownika:
$3(m - 1) = -2$.
Rozwijamy nawias:
$3m - 3 = -2$.
Dodajemy $3$ do obu stron:
$3m = 1$.
Dzielimy obie strony przez $3$:
$m = \dfrac{1}{3}$.

Odpowiedź:
Proste są prostopadłe, gdy $m = \dfrac{1}{3}$.