Zadanie 79

Długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $4$.
Oznaczmy te krawędzie jako kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego:
$a$, $a+4$, $a+8$.

Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa $172$.
Prostopadłościan ma 12 krawędzi: po 4 krawędzie każdej długości, więc:
$4(a + (a+4) + (a+8)) = 172$.

Najpierw upraszczamy wyrażenie w nawiasie:
$a + (a+4) + (a+8) = a + a + 4 + a + 8 = 3a + 12$.
Zatem równanie ma postać:
$4(3a + 12) = 172$.

Rozmnażamy przez nawias:
$12a + 48 = 172$.
Przenosimy $48$ na drugą stronę:
$12a = 172 - 48 = 124$.
Dzielimy obie strony przez $12$:
$a = \dfrac{124}{12} = \dfrac{31}{3}$.

Teraz obliczamy pozostałe krawędzie:
$a = \dfrac{31}{3}$,
$a + 4 = \dfrac{31}{3} + 4 = \dfrac{31}{3} + \dfrac{12}{3} = \dfrac{43}{3}$,
$a + 8 = \dfrac{31}{3} + 8 = \dfrac{31}{3} + \dfrac{24}{3} = \dfrac{55}{3}$.

Objętość prostopadłościanu liczymy ze wzoru:
$V = a \cdot b \cdot c$.
W naszym przypadku:
$V = \dfrac{31}{3} \cdot \dfrac{43}{3} \cdot \dfrac{55}{3}$.

Mnożymy liczniki i mianowniki osobno:
$V = \dfrac{31 \cdot 43 \cdot 55}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \dfrac{31 \cdot 43 \cdot 55}{27}$.
Obliczamy licznik:
$31 \cdot 43 = 1333$,
$1333 \cdot 55 = 73315$.
Zatem:
$V = \dfrac{73315}{27} \approx 2715{,}37$.

Odpowiedź: objętość prostopadłościanu wynosi $V = \dfrac{73315}{27} \approx 2715{,}37$ jednostek sześciennych.