Zadanie 79

Chcemy obliczyć wartość wyrażenia:
$1.(5) + 1.1(5) + 1.11(5)$.
Najpierw zamienimy każdą z liczb okresowych na ułamek zwykły, potem dodamy, a na końcu zapiszemy wynik jako ułamek dziesiętny.

1) Liczba $1.(5)$
Oznacza to $1.5555\ldots$
Niech $x = 1.(5) = 1.5555\ldots$
Mnożymy przez $10$, żeby przesunąć przecinek o jedno miejsce:
$10x = 15.5555\ldots$
Odejmujemy równania:
$10x - x = 15.5555\ldots - 1.5555\ldots$
$9x = 14$
$x = \dfrac{14}{9}$
Czyli $1.(5) = \dfrac{14}{9}$.

2) Liczba $1.1(5)$
Oznacza to $1.15555\ldots$
Niech $y = 1.1(5) = 1.15555\ldots$
Mnożymy przez $10$:
$10y = 11.5555\ldots$
Mnożymy przez $100$:
$100y = 115.5555\ldots$
Odejmujemy:
$100y - 10y = 115.5555\ldots - 11.5555\ldots$
$90y = 104$
$y = \dfrac{104}{90} = \dfrac{52}{45}$
Czyli $1.1(5) = \dfrac{52}{45}$.

3) Liczba $1.11(5)$
Oznacza to $1.11555\ldots$
Niech $z = 1.11(5) = 1.11555\ldots$
Mnożymy przez $100$:
$100z = 111.5555\ldots$
Mnożymy przez $1000$:
$1000z = 1115.5555\ldots$
Odejmujemy:
$1000z - 100z = 1115.5555\ldots - 111.5555\ldots$
$900z = 1004$
$z = \dfrac{1004}{900} = \dfrac{502}{450} = \dfrac{251}{225}$
Czyli $1.11(5) = \dfrac{251}{225}$.

4) Suma trzech liczb (w ułamkach zwykłych)
$1.(5) + 1.1(5) + 1.11(5) = \dfrac{14}{9} + \dfrac{52}{45} + \dfrac{251}{225}$
Wspólny mianownik to $225$. Sprowadzamy:
$\dfrac{14}{9} = \dfrac{14 \cdot 25}{9 \cdot 25} = \dfrac{350}{225}$
$\dfrac{52}{45} = \dfrac{52 \cdot 5}{45 \cdot 5} = \dfrac{260}{225}$
$\dfrac{251}{225} = \dfrac{251}{225}$ (bez zmian).
Dodajemy liczniki:
$\dfrac{350}{225} + \dfrac{260}{225} + \dfrac{251}{225} = \dfrac{350 + 260 + 251}{225} = \dfrac{861}{225}$
Upraszczenie przez $3$:
$\dfrac{861}{225} = \dfrac{287}{75}$

5) Zamiana $\dfrac{287}{75}$ na ułamek dziesiętny
Dzielimy $287$ przez $75$:
$75 \cdot 3 = 225$, więc część całkowita to $3$. Zostaje reszta $62$.
Mamy więc $3,\text{ coś }$ i dalej dzielimy resztę $62$:
$\dfrac{62}{75} = 0.82666\ldots$ (cyfra $6$ powtarza się w nieskończoność).
Zatem:
$\dfrac{287}{75} = 3.82666\ldots = 3.82(6)$

Ostatecznie:
$1.(5) + 1.1(5) + 1.11(5) = 3.82(6)$
czyli w postaci ułamka dziesiętnego: $3.82(6)$.