Zadanie 78

Dane jest prostokąt o bokach długości $3$ i $5$. Chcemy obliczyć sinus kąta ostrego, który tworzą jego przekątne.

1. Ustalmy układ współrzędnych, żeby wygodnie policzyć kąt między przekątnymi.
Przyjmijmy, że prostokąt ma wierzchołki:
$A = (0,0)$,
$B = (5,0)$ – bok długości $5$ poziomo,
$C = (5,3)$ – bok długości $3$ pionowo,
$D = (0,3)$.

2. Przekątne prostokąta to odcinki $AC$ i $BD$.
Zapiszemy je jako wektory:
$\vec{AC} = C - A = (5,3)$,
$\vec{BD} = D - B = (0,3) - (5,0) = (-5,3)$.

3. Kąt między przekątnymi to kąt między wektorami $\vec{AC}$ i $\vec{BD}$.
Skorzystamy ze wzoru na cosinus kąta między wektorami:
$$\cos\varphi = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BD}}{|\vec{AC}|\cdot|\vec{BD}|}.$$ Najpierw obliczamy iloczyn skalarny:
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 5 \cdot (-5) + 3 \cdot 3 = -25 + 9 = -16.$

4. Obliczamy długości wektorów (są to długości przekątnych):
$$|\vec{AC}| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34},$$ $$|\vec{BD}| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}.$$ Zatem:
$$\cos\varphi = \frac{-16}{\sqrt{34}\cdot\sqrt{34}} = \frac{-16}{34} = -\frac{8}{17}.$$

5. Wartość $\varphi$ jest kątem rozwartym między wektorami (cosinus jest ujemny),
a nas interesuje kąt ostry między przekątnymi, czyli:
$$\alpha = 180^\circ - \varphi,$$ a wtedy:
$$\cos\alpha = -\cos\varphi = \frac{8}{17}.$$

6. Mając $\cos\alpha = \dfrac{8}{17}$, obliczamy $\sin\alpha$ z zależności:
$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.$$ Podstawiamy:
$$\sin^2\alpha + \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1,$$ $$\sin^2\alpha + \frac{64}{289} = 1,$$ $$\sin^2\alpha = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289}{289} - \frac{64}{289} = \frac{225}{289}.$$ Zatem:
$$\sin\alpha = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}.$$
Bierzemy wartość dodatnią, bo kąt $\alpha$ jest ostry.

Odpowiedź: $\sin$ kąta ostrego między przekątnymi prostokąta wynosi $\dfrac{15}{17}$.