Oblicz pole trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej $15$, jeśli cotangens jednego z jego kątów ostrych jest równy $2\sqrt{2}$
Dane z zadania:
– trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $c = 15$,
– cotangens jednego z kątów ostrych wynosi $\cot\alpha = 2\sqrt{2}$.
1. Oznaczmy przyprostokątne trójkąta przez $a$ i $b$.
Niech kąt $\alpha$ będzie kątem naprzeciwko przyprostokątnej $a$, a przyprostokątna $b$ będzie przyległa do kąta $\alpha$.
W trójkącie prostokątnym:
$$\cot\alpha = \frac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przyprostokątna przeciwległa}} = \frac{b}{a}.$$
Z treści zadania mamy:
$$\cot\alpha = 2\sqrt{2},$$
więc:
$$\frac{b}{a} = 2\sqrt{2} \Rightarrow b = 2\sqrt{2}\,a.$$
2. Korzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2 + b^2 = c^2.$$
Podstawiamy $c = 15$ oraz $b = 2\sqrt{2}\,a$:
$$a^2 + (2\sqrt{2}\,a)^2 = 15^2.$$
Obliczamy kwadrat $2\sqrt{2}\,a$:
$(2\sqrt{2}\,a)^2 = 4 \cdot 2 \cdot a^2 = 8a^2.$
Zatem równanie ma postać:
$$a^2 + 8a^2 = 225,$$
$$9a^2 = 225.$$
3. Dzielimy obustronnie przez $9$:
$$a^2 = \frac{225}{9} = 25.$$
Stąd:
$$a = 5,$$
(bierzemy dodatnią wartość, bo długość boku jest dodatnia).
4. Obliczamy $b$ z zależności $b = 2\sqrt{2}\,a$:
$$b = 2\sqrt{2} \cdot 5 = 10\sqrt{2}.$$
5. Pole trójkąta prostokątnego liczymy ze wzoru:
$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b.$$
Podstawiamy obliczone długości przyprostokątnych:
$$P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10\sqrt{2}.$$
Obliczamy krok po kroku:
$$\frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2},$$
$$\frac{5}{2} \cdot 10\sqrt{2} = 5 \cdot 5\sqrt{2} = 25\sqrt{2}.$$