Zadanie 77

W zadaniu podano:
$\log_5 2 = a$ oraz $\log_5 3 = b$
i polecono wykazać, że $\log_5 108 = 2a + 2b$.
Zobaczymy, co naprawdę wychodzi z rachunków.

1. Rozkładamy liczbę $108$ na czynniki pierwsze:
$108 = 4 \cdot 27 = 2^2 \cdot 3^3.$

2. Korzystamy z własności logarytmów:
$\log_5(AB) = \log_5 A + \log_5 B$ oraz $\log_5(A^n) = n \log_5 A$.

3. Zapisujemy $\log_5 108$ z użyciem rozkładu na czynniki:
$\log_5 108 = \log_5(2^2 \cdot 3^3).$
Stosujemy własność logarytmu iloczynu:
$\log_5(2^2 \cdot 3^3) = \log_5(2^2) + \log_5(3^3).$

4. Teraz używamy wzoru na logarytm potęgi:
$\log_5(2^2) = 2\log_5 2,$
$\log_5(3^3) = 3\log_5 3.$
Zatem:
$\log_5 108 = 2\log_5 2 + 3\log_5 3.$

5. Korzystamy teraz z oznaczeń z treści zadania:
$\log_5 2 = a,\quad \log_5 3 = b.$
Podstawiamy je do otrzymanego wyrażenia:
$\log_5 108 = 2a + 3b.$

6. Otrzymujemy wynik:
$\log_5 108 = 2a + 3b.$
Widzimy więc, że prawidłowa wartość to $2a + 3b$, a nie $2a + 2b$.
Równość $\log_5 108 = 2a + 2b$ jest zatem nieprawdziwa – aby uzyskać $2a + 2b$, liczba pod logarytmem musiałaby być równa $36$ (bo $36 = 2^2 \cdot 3^2$).

Podsumowanie: z danych $\log_5 2 = a$, $\log_5 3 = b$ wynika, że
$\boxed{\log_5 108 = 2a + 3b}.$