Zadanie 80

Rozwiązujemy nierówność:
$x^3 - 5x \gt 35 - 7x^2$.

1) Przenosimy wszystko na lewą stronę nierówności:
$x^3 - 5x - 35 + 7x^2 \gt 0$.
Uporządkujmy wyrażenie według potęg $x$:
$x^3 + 7x^2 - 5x - 35 \gt 0$.

2) Spróbujemy wyciągnąć wspólne czynniki (grupowanie):
$x^3 + 7x^2 - 5x - 35 = x^2(x + 7) - 5(x + 7)$.
Widzimy wspólny czynnik $(x + 7)$:
$x^2(x + 7) - 5(x + 7) = (x + 7)(x^2 - 5)$.
Zatem nierówność przyjmuje postać:
$(x + 7)(x^2 - 5) \gt 0$.

3) Rozkładamy dalej wyrażenie kwadratowe:
$x^2 - 5 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$.
Ostatecznie mamy:
$(x + 7)(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) \gt 0$.

4) Wyznaczamy miejsca zerowe (punkty krytyczne):
$x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$,
$x - \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x = \sqrt{5}$,
$x + \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x = -\sqrt{5}$.

Porządkujemy je na osi liczbowej:
$-7 \lt -\sqrt{5} \lt \sqrt{5}$.
Dzielą one oś liczbową na cztery przedziały:
$(-\infty, -7)$, $(-7, -\sqrt{5})$, $(-\sqrt{5}, \sqrt{5})$, $(\sqrt{5}, \infty)$.

5) Badamy znak iloczynu na każdym z przedziałów:
Weźmy po jednym przykładzie z każdego przedziału.

a) Dla $x = -10 \in (-\infty, -7)$:
$x + 7 < 0$, $x - \sqrt{5} < 0$, $x + \sqrt{5} < 0$,
iloczyn trzech liczb ujemnych: $(-)\cdot(-)\cdot(-) = - \lt 0$.
Na tym przedziale wyrażenie jest ujemne.

b) Dla $x = -3 \in (-7, -\sqrt{5})$:
$x + 7 \gt 0$, $x - \sqrt{5} \lt 0$, $x + \sqrt{5} \lt 0$,
iloczyn: $(+)\cdot(-)\cdot(-) = + \gt 0$.
Na tym przedziale wyrażenie jest dodatnie.

c) Dla $x = 0 \in (-\sqrt{5}, \sqrt{5})$:
$x + 7 \gt 0$, $x - \sqrt{5} \lt 0$, $x + \sqrt{5} \gt 0$,
iloczyn: $(+)\cdot(-)\cdot(+) = - \lt 0$.
Na tym przedziale wyrażenie jest ujemne.

d) Dla $x = 3 \in (\sqrt{5}, \infty)$:
$x + 7 \gt 0$, $x - \sqrt{5} \gt 0$, $x + \sqrt{5} \gt 0$,
iloczyn: $(+)\cdot(+)\cdot(+) = + \gt 0$.
Na tym przedziale wyrażenie jest dodatnie.

6) Szukamy, gdzie iloczyn jest większy od zera:
$(x + 7)(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) \gt 0$ dla:
$(-7, -\sqrt{5})$ oraz $(\sqrt{5}, \infty)$.
Punktów $x = -7$, $x = -\sqrt{5}$, $x = \sqrt{5}$ nie włączamy, bo w nierówności jest znak $\gt$, a nie $\ge$.

Odpowiedź:
Zbiór rozwiązań nierówności to:
$x \in (-7, -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, \infty)$.